2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 40  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.06.2023, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596671 писал(а):
Нужно же решить каждое из четырех уравнений, получающееся при всевозможных комбинациях знаков? Т. е.

мат-ламер в сообщении #1596687 писал(а):
Да.

Возможно я не совсем правильно вас информировал. Рассмотрим пример. Пусть вам надо решить уравнение: $z^2\pm z \pm 1 =0$ . Можно решать каждое из четырёх уравнений. А наверное можно решать лишь одно уравнение, грамотно употребляя знак $\pm$ . В ответе в любом случае надо указать все восемь корней этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.06.2023, 23:21 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596687 писал(а):
Для начала подумайте, чему могут вообще равняться величины $z^n$ и $z^m$ . Там не так уж и много различных вариантов.

Ну, судя по этой подсказке и по структуре исходного уравнения (3 слагаемых, среди которых 1, хотя это и не столь важно, но все же), я должен получить, что эти величины равны соответственно $\varepsilon$ и $\varepsilon^2$, где $\varepsilon$ - любой из двух отличных от 1 кубических корней из 1. Только, как это сделать, пока не соображу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 01:43 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596687 писал(а):
Для начала подумайте, чему могут вообще равняться величины $z^n$ и $z^m$ . Там не так уж и много различных вариантов.

Ну, судя по тому, что я насчитал вот здесь:
Sinoid в сообщении #1596728 писал(а):

(Оффтоп)

Итак, для начала возьму уравнение $x^{n}+x^{m}-1=0$. По условию задачи $x$ можно представить в следующем виде: $x=\cos\varphi+i\sin\varphi$. Тогда взятое уравнение переписывается в следующем виде: $(\cos n\varphi+\cos m\varphi)+i(\sin n\varphi+\sin m\varphi)=1$. Это равенство эквивалентно следующей системе уравнений: $\left\{ \begin{alignedat}{3}\cos n\varphi & + & \cos m\varphi & = & 1\\
\sin n\varphi & + & \sin m\varphi & = & 0
\end{alignedat}
\right.
 $. Второе уравнение этой системы дает: $\left|\cos n\varphi\right|=\left|\cos m\varphi\right|$. Случай $\cos n\varphi=-\cos m\varphi$ отпадает, т. к. в этом случае было бы $\cos n\varphi+\cos m\varphi =0$, что противоречит первому уравнению системы. Остается случай $\cos n\varphi=\cos m\varphi$. Тогда из первого уравнения системы получаю: $\cos n\varphi=\cos m\varphi=\dfrac{1}{2}$. Выпишу, например, такое решение последней системы: $\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{1}\\
m\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{2}
\end{alignedat}
\right.$. А вот что дальше делать с этим богатством? Вот вопрос на миллион. Ну, перепишу я его (решение) в виде $\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & (6k_{1}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}\\
m\varphi & = & (6k_{2}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}
\end{alignedat}
\right.$. И дальше пока все. Нужно подумать.

, у меня для этих величин из взятого мной уравнения
Sinoid в сообщении #1596728 писал(а):
$x^{n}+x^{m}-1=0$

есть всего 2 варианта значений: $\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$.

-- 07.06.2023, 03:01 --

А в каждом варианте значений оба значения - отличные от 1 корни шестой степени из 1... Хм, теперь что, у $n$ и $m$ начать рассматривать их остатки по модулю 6?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596805 писал(а):
Ну, судя по тому, что я насчитал вот здесь:

Я это шаг осуществил без расчётов из чисто геометрических соображений. Например, для вашего уравнения $z^n+z^m-1=0$ величины $z^n$ , $z^m$ и $-1$ должны находиться в комплексной плоскости на единичной окружности в вершинах правильного треугольника.
Sinoid в сообщении #1596805 писал(а):
Хм, теперь что, у $n$ и $m$ начать рассматривать их остатки по модулю 6?

Дальше я не решал. Какие тут должны быть ответы, в общем понятно (чисто из геометрических соображений). Хотя, если у вас алгебраический тип мышления, можете использовать остатки по модулю. Задача - записать ответ в в компактном удобочитаемом виде. Например, для первой вашей фигурной скобки это будет серия $n=1,4,7...$ , $m=2,5,8...$ .
Sinoid в сообщении #1596805 писал(а):
А в каждом варианте значений оба значения - отличные от 1 корни шестой степени из 1...

А тут вопрос - а только ли шестой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 16:01 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596828 писал(а):
Например, для вашего уравнения $z^n+z^m-1=0$ величины $z^n$ , $z^m$ и $-1$ должны находиться в комплексной плоскости на единичной окружности в вершинах правильного треугольника.

Это все понятно. А почему величины $z^n$ , $z^m$ и $-1$ не могут рассматриваться как вершины правильного, скажем, 12-угольника? Вот в чем для меня сейчас вопрос. Понятно, что я сейчас повторяю ваши слова;
мат-ламер в сообщении #1596828 писал(а):
А тут вопрос - а только ли шестой?

, но геометрическими методами ответить на этот вопрос я пока не могу. И мне вчера, сегодня ночью, не оставалось ничего более, чем привлечь алгебру.
Sinoid в сообщении #1596805 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$

Из этих двух разных систем равенств следует одно и то же равенство: $x^{n+m}=1$, т. е., если $x$ - корень из 1 степени $s$, то выполняется следующее сравнение: $n+m\equiv0(\mod s)$. Все, в общем-то, стандартно. Осталось только найти $s$???

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
мат-ламер в сообщении #1596828 писал(а):
Например, для первой вашей фигурной скобки это будет серия $n=1,4,7...$ , $m=2,5,8...$ .

Стоп! Я тут попутал и рассматривал не ваше уравнение, а некоторое своё. А для вашего уравнения и первой скобки серия будет: $n=1,7,13..$ , $m=5,11,17...$ .

-- Ср июн 07, 2023 18:08:21 --

Sinoid в сообщении #1596833 писал(а):
. А почему величины $z^n$ , $z^m$ и $-1$ не могут рассматриваться как вершины правильного, скажем, 12-угольника? Вот в чем для меня сейчас вопрос.

Может. И тогда числа в ответе удвоятся. И тут возникают странности. В условии задачи не оговаривается, какой степени у нас корень. В ответе чётко говорится, что корень получается только шестой степени. И эта неточность в ответе, на которую я намекал.

-- Ср июн 07, 2023 18:11:14 --

Sinoid в сообщении #1596833 писал(а):
Осталось только найти $s$???

Это число равно степени корня, которую мы рассматриваем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 17:13 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596834 писал(а):
В ответе чётко говорится, что корень получается только шестой степени. И эта неточность в ответе, на которую я намекал.

Да??? Как интересно.

-- 07.06.2023, 18:15 --

мат-ламер в сообщении #1596834 писал(а):
Это число равно степени корня, которую мы рассматриваем.

Да, это все понятно. У меня идеи нету...

-- 07.06.2023, 18:21 --

Так...
Sinoid в сообщении #1596805 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{2}x^{n} &= & \dfrac{1}{2} & - & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
x^{m} & = & \dfrac{1}{2} & + & i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignedat}
\right.$.

в каждом из этих двух вариантов $x^{3n}=1$ и $x^{3m}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596836 писал(а):
Да, это все понятно. У меня идеи нету...

В ответе (в моём издании) приведены все серии. Они идут с шагом $6$ . Корни рассматриваются, по-видимому, только шестой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 17:35 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596839 писал(а):
Корни рассматриваются, по-видимому, только шестой степени.

мат-ламер в сообщении #1596834 писал(а):
В ответе чётко говорится, что корень получается только шестой степени. И эта неточность в ответе, на которую я намекал.

А на самом деле они не только шестой, а любой четной степени (
мат-ламер в сообщении #1596828 писал(а):
$z^n$ , $z^m$ и $-1$

там есть -1), большей трех и кратной трем. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596840 писал(а):
А на самом деле они не только шестой, а любой четной степени (

Не уверен. Думаю, что для вашего уравнения степень может быть типа $6k$ . А некоего другого уравнения и $3k$ .
Sinoid в сообщении #1596840 писал(а):
там есть -1), большей трех и кратной трем. Так?

Извините, ничего не понял. Сегодня на улице жара и я что-то много туплю.

-- Ср июн 07, 2023 19:51:11 --

Sinoid в сообщении #1596836 писал(а):
в каждом из этих двух вариантов $x^{3n}=1$ и $x^{3m}=1$.

Вроде как у вас тут опечатка. Вместо тройки в формулах должна быть шестёрка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.06.2023, 23:22 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596844 писал(а):
Сегодня на улице жара и я что-то много туплю.

А я-то как туплю.
мат-ламер в сообщении #1596844 писал(а):
Sinoid в сообщении #1596840 писал(а):
А на самом деле они не только шестой, а любой четной степени (

Sinoid в сообщении #1596836 писал(а):
в каждом из этих двух вариантов $x^{3n}=1$ и $x^{3m}=1$.

Вроде как у вас тут опечатка. Вместо тройки в формулах должна быть шестёрка.

Взять этот мой перл со степенью 3. Ну, я же знаю, что $\left\{ \begin{alignedat}{4}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} & = & \left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{3} & = & \cos\pi+i\sin\pi & = & -1\\
\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} & = & \left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)^{3} & = & \cos5\pi+i\sin5\pi & = & -1
\end{alignedat}
\right.$. Знаю. Так, спрашивается, как меня сподобило написать такую ересь? Баран бараном я :facepalm: .

-- 08.06.2023, 01:08 --

мат-ламер в сообщении #1596844 писал(а):
Извините, ничего не понял.

Ну, в смысле, потому что там есть минус, отрицательное число. Поэтому и корень из 1 из задачи должен быть четной степени.

-- 08.06.2023, 01:12 --

мат-ламер в сообщении #1596844 писал(а):
Вместо тройки в формулах должна быть шестёрка.

Итак, да, все так и есть. А вот дальше что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.06.2023, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596870 писал(а):
Итак, да, все так и есть. А вот дальше что?

Вопрос "дальше что?" поставил меня в тупик. Ответ на него зависит от того, а где мы сейчас? С уравнением $z^n-z^m+1=0$ разобрались или нет? Если не разобрались, то какие конкретно остались вопросы именно по этому уравнению? Если разобрались, то уравнения с другой комбинацией знаков плюс/минус решаются аналогично. Стоит ли заниматься их решением, вы сами должны определиться. Особенно ничего нового для вашего развития это не даст. И тут вопрос, какими степенями корней можно ограничиться. Я считаю, что можно ограничиться только шестыми степенями, как это сделано в ответе. Это конечно неверно. Но рассмотрение других степеней особенно ничего нового вам не откроет. Там всё решается аналогично, как и для шестой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.06.2023, 18:41 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596942 писал(а):
сли разобрались, то уравнения с другой комбинацией знаков плюс/минус решаются аналогично. ... Особенно ничего нового для вашего развития это не даст.

Да это я прекрасно понимаю.
мат-ламер в сообщении #1596942 писал(а):
С уравнением $z^n-z^m+1=0$ разобрались или нет?

В том-то и дело, что, нет, не разобрался. Т. е. вот смотрите. Вот я написал систему равенств
Sinoid в сообщении #1596728 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & (6k_{1}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}\\ m\varphi & = & (6k_{2}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}
\end{alignedat}
\right.$.

так все дело в том, что эту систему равенств я могу переписать в следующем виде: $\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & \dfrac{6k_{1}+1}{t}\cdot\dfrac{\pi t}{3}\\
m\varphi & = & \dfrac{6k_{2}+1}{t}\cdot\dfrac{\pi t}{3}
\end{alignedat}
\right.$, где $t$ пока будем рассматривать не произвольным целым, отличным от 0 параметром, а произвольным ненулевым натуральным параметром (случай же отрицательного, ненулевого, целого значения параметра $t$ мне сейчас кажется сводящемся к этому случаю), а $k_1$, $k_2$ нужно брать такими, чтобы дроби $\dfrac{6k_{1}+1}{t}$ и $\dfrac{6k_{2}+1}{t}$ принимали значения, являющимися целыми числами. Так?

-- 08.06.2023, 19:51 --

мат-ламер в сообщении #1596942 писал(а):
С уравнением $z^n-z^m+1=0$ разобрались...

Стоп. Я брал уравнение
Sinoid в сообщении #1596728 писал(а):
$x^{n}+x^{m}-1=0$.

(почему-то написал не то неизвестное). Решение именно этого уравнения написано мной в этом посте выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.06.2023, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7041
Sinoid в сообщении #1596954 писал(а):
почему-то написал не то неизвестное)

Обычно для комплексных переменных используют букву $z$ . Но не суть. Но если мы нашли, что $z=(1+i\sqrt{3})\slash 2$ и $z^6=1$ , то $z=z^7=z^{13}=...$ . Отсюда $z^2=(1-i\sqrt{3})\slash 2$ и $z^2=z^8=z^{14}=...$ . Значит мы нашли серию $n=6k+1$ и $m=6l+2$ (тут мы можем также поменять $m$ и $n$ местами). Однако, тут возникает вопрос, все ли решения мы нашли? Тут надо точно записать наше решение. Мы видим, что $n$ может принимать значения $1,2,7,8,13,14...$ . И $m$ может принимать те же значения. Однако, принимать значения они должны согласовано - чтобы их сумма была нечётным числом. Но это всё мои интуитивные соображения. Я так понял, что вы хотите подкрепить интуитивные соображения точным алгебраическим анализом. Я не думал об этом. И что-то мне не хочется лезть в это дело - максимально строго оформлять то, что кажется и так интуитивно ясным. Просто лень.

-- Чт июн 08, 2023 21:20:56 --

мат-ламер в сообщении #1596957 писал(а):
Тут надо точно записать наше решение.

Ну, оно так и записывается,
мат-ламер в сообщении #1596957 писал(а):
$n=6k+1$ и $m=6l+2$

либо
$m=6k+1$ и $n=6l+2$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.06.2023, 23:35 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1596957 писал(а):
Но если мы нашли, что $z=(1+i\sqrt{3})\slash 2$

Да, но мы же это не нашли.

-- 09.06.2023, 00:42 --

мат-ламер в сообщении #1596957 писал(а):
Я так понял, что вы хотите подкрепить интуитивные соображения точным алгебраическим анализом.

Да мне хоть каким: алгебраическим ли, геометрическим, лишь бы это было законченное рассуждение, а то такое ощущение, как будто так и остаешься на перепутье.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group