Сила Архимеда и вечный двигатель

[sergey zhukov]

ozheredov
Я полагаю, Архимед крутился в ванной так и сяк и понял, что как бы он ни изгибался, но (если он полностью погружен в воду) уровень воды не меняется, т.е. у его тела есть свойство, независимое от формы, которое можно измерить при помощи воды. Это как бы весы, но для объема, а не для массы. Вряд ли он тут о бесконечно малых думал.
Строгое понятие объема Архимед уже использовал, как сказал amon. Он же первым строго вычислил объем параболоида и шара таким образом.

[ozheredov]

amon в сообщении #1596794 писал(а):

Постулировался объем кирпича, дальше тело разбивалось на части так, что бы либо получился кирпич, либо объем тело ограничивался сверху и снизу объемом тел, объем которых известен, "угадывался" объем искомого тела, после чего от противного доказывалось, что объем не может быть больше или меньше угаданного (метод исчерпаний).

То есть объем - это некая величина, у которой есть долекие друг от друга оценка сверху и оценка снизу. Т.е. объем нельзя узнать, его можно только оценить с достаточно большой ошибкой (потому что построить достаточно точное исчерпание короны проблематично). Тогда вопрос -- не утонет ли точность принятия решения "корона настоящая" vs "корона поддельная" в этой ошибке?

-- 07.06.2023, 19:28 --

sergey zhukov в сообщении #1596797 писал(а):

Я полагаю, Архимед крутился в ванной так и сяк и понял, что как бы он ни изгибался, но (если он полностью погружен в воду) уровень воды не меняется, т.е. у его тела есть свойство, независимое от формы, которое можно измерить при помощи воды.

Т.е. по определению объем - это просто показатель некоего специфического косвенного измерения? Вычислим не объем конуса, а вычислим, сколько воды вытолкнет конус при полном погружении? Это мне кажется ближе.

[amon]

ozheredov в сообщении #1596850 писал(а):

То есть объем - это некая величина, у которой есть долекие друг от друга оценка сверху и оценка снизу.

Наоборот. Сколь угодно близкие. Иначе метод исчерпаний не работает. Считаем объем шара. Вписываем в шар много-много цилиндров малой высоты. Догадываемся, что "в пределе" получится $\frac{4}{3}\pi r^3,$ после чего доказываем, что если объем больше этой величины, то можно получить такой же объем описывая цилиндры вокруг шара, а если меньше - то вписывая. Поскольку первый больше объема шара (шар внутри тела), а второй - меньше, то значит угадали правильно. Сама процедура угадывания, видимо, была чрезвычайно близка к современному интегральному исчислению. То, что всякая жесткая трехмерная фигура имеет постоянный объем, ни у кого сомнений не вызывало еще задолго до Архимеда, так что в теоретических исследованиях ванна была совсем не нужна. Другое дело, что общей формулы подсчета объема произвольного тела (интеграла) не было.

[ozheredov]

amon в сообщении #1596858 писал(а):

Сколь угодно близкие.

Сколь угодно близкие -- это если у нас есть хотя бы понятие предела последовательности. Вы, собственно, сами пишете:

amon в сообщении #1596858 писал(а):

Догадываемся, что "в пределе" получится...

А если его нет? Я взял 2 конструкции цилиндров, первая покрывает шар, вторая покрывается шаром. Объем первой конструкции скажем 2, второй скажем 4. Значит объем шара -- это какое-то число между двумя и четырьмя, и более я сказать ничего не могу. Не ясно, откуда взялось

amon в сообщении #1596858 писал(а):

$\frac{4}{3}\pi r^3,$

-- 07.06.2023, 21:59 --

amon в сообщении #1596858 писал(а):

Сама процедура угадывания, видимо, была чрезвычайно близка к современному интегральному исчислению.

amon в сообщении #1596858 писал(а):

Другое дело, что общей формулы подсчета объема произвольного тела (интеграла) не было.

Это тоже чрезвычайно интересно -- что микроскопический шаг до интегрального исчисления занял пару тысяч лет

[epros]

ozheredov в сообщении #1596860 писал(а):

Значит объем шара -- это какое-то число между двумя и четырьмя, и более я сказать ничего не могу. Не ясно, откуда взялось

"Обожаю" такие дискуссии на тему "устранения пробелов в знаниях". Шар - неудачный пример. Но для других фигур, да, есть такие, объём которых неизмерим. Вы правда этого не знали?

[wrest]

ozheredov в сообщении #1596860 писал(а):

Не ясно, откуда взялось

amon в сообщении #1596858

писал(а):
$\frac{4}{3}\pi r^3,$

Это в современной записи. А доказано было другое: объем шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.

-- 08.06.2023, 09:34 --

ozheredov в сообщении #1596860 писал(а):

Это тоже чрезвычайно интересно -- что микроскопический шаг до интегрального исчисления занял пару тысяч лет

Для теории пределов потребовалось ввести, принять и смириться с понятием актуальной бесконечности. Это и заняло тысячи лет.

[ozheredov]

epros в сообщении #1596906 писал(а):

Вы правда этого не знали?

Мы правда этого знали. А тут мы пытаемся встать на точку зрения Деда Архимеда, у которого торпеда есть две заданные конфигурации прямоугольных параллелипипедов -- одна для покрытия тела, другая для покрытия телом. Менять конфигурации, уменьшая размеры параллелипипедов, нельзя - в противном случае мы влетаем в определение интеграла через предел, а этого у них точно не было.

wrest в сообщении #1596907 писал(а):

Для теории пределов потребовалось ввести, принять и смириться с понятием актуальной бесконечности.

А это зачем? Предел - это когда для любого ёпсилон (назовем его погрешность определения объема) найдется номер простой конфигурации (also called as "интегральная сумма"), такой, что разность между суммой и объемом будет меньше ёпсилон, т.е. измерение объема не утонет в этой погрешности. Где тут бесконечность?

sergey zhukov предложил определение "объем - это количество выталкиваемой воды", поскольку это инвариант по отношению к разным кульбитам под водой. Мне кажется это ближе к истине. Но тогда возникает вопрос, не тавтология ли тот самый закон Архимеда про то, что тело выталкивает количество воды, равное своему объему.

[Mikhail_K]

ozheredov в сообщении #1596968 писал(а):

Но тогда возникает вопрос, не тавтология ли тот самый закон Архимеда про то, что тело выталкивает количество воды, равное своему объему.

Любое тело вытесняет объём воды, равный объёму погружённой части этого тела. В частности, если тело погружено полностью, то оно вытесняет объём воды, равный объёму этого тела. Это действительно очевидный факт.

Но закон Архимеда (в одной из своих формулировок) заключается совсем в другом: если тело под действием силы тяжести частично погружается в воду, то оно вытесняет массу воды, равную массе самого тела (причём всего тела, а не его погружённой части).

P.S. Тему я не читал.

[wrest]

ozheredov в сообщении #1596968 писал(а):

Где тут бесконечность?

В знаке "равно" после символа предела/интеграла. Мы же говорим что предел/интеграл/производная и т.п. равен какому-то числу. Ну например что $0,(9)=1,(0)$ или $\lim \limits_{k \to \infty} \sum \limits_{n=1}^{k}\dfrac{1}{2^n}=1$ или $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}=1$
Вот тут актуальная бесконечность (обозначаемая как $\infty$) и засела. А без неё, Ахиллес не догонит Черепаху, поскольку хотя

ozheredov в сообщении #1596968 писал(а):

разность между суммой и объемом будет меньше ёпсилон

но все-же не будет равна нулю. Можно ещё добавить "никогда не будет", для пущего эффекта.

[ozheredov]

Mikhail_K в сообщении #1596971 писал(а):

Но закон Архимеда (в одной из своих формулировок) заключается совсем в другом: если тело под действием силы тяжести частично погружается в воду, то оно вытесняет массу воды, равную массе самого тела (причём всего тела, а не его погружённой части).

А, понял -- да, это я забыл, thanks

wrest в сообщении #1596974 писал(а):

В знаке "равно" после символа предела/интеграла. Мы же говорим что предел/интеграл равен какому-то числу. Ну например что $0,(9)=1,(0)$

Тут = это нечто типа жаргона, нет там никакого "равно".

wrest в сообщении #1596974 писал(а):

Вот тут актуальная бесконечность и засела. А без неё, Ахиллес не догонит Черепаху.

В рамках модели, где каждый тик занимает конечное время - не догонит, но такая модель не соответствует реальности (c).

-- 09.06.2023, 00:09 --

wrest в сообщении #1596974 писал(а):

Можно ещё добавить "никогда не будет", для пущего эффекта.

P.S. После Ваших добавлений хочу уточнить, что в Ахиллесе сходится последовательность сумм временных отрезков. Поэтому "когда".

[wrest]

ozheredov в сообщении #1596975 писал(а):

В рамках модели, где каждый тик занимает конечное время - не догонит,

Конечно конечное. Каждый тик вдвое короче предыдущего, но нулю не равен, то есть конечен. Но чтобы получить в точности единицу, надо сложить все тики, т.е. всю бесконечность тиков, целиком.
Хочу ещё раз обратить ваше внимание на терминологию. Чтобы Ахиллес догнал Черепаху, нужно принять и смириться с актуальной бесконечностью, вот именно этот микроскопический шаг по формализации перехода от потенциальной бесконечности (потенциальная: параметр растёт/уменьшается неограниченно) к актуальной (параметр бесконечно велик/бесконечно мал) и заняло все эти тысячи лет со времён Архимеда до примерно Вейерштрасса.

[ozheredov]

wrest в сообщении #1596978 писал(а):

Конечно конечное. Каждый тик вдвое короче предыдущего, но нулю не равен, то есть конечен.

Назовите такую константу $M$, что каждый тик заведомо больше нее каждая сумма тиков отличается от расстояния, деленного на разность скоростей, заведомо более чем на $M$.

wrest в сообщении #1596978 писал(а):

Но чтобы получить в точности единицу, надо сложить все тики, т.е. всю бесконечность тиков, целиком.

В этой модели - не надо. Не, не так: в этой модели нам не нужна вся актуальная сумма -- достаточно ее приближение с требуемой точностью. Более того, куча объектов, которыми оперируют программизм, инженерия, computer science и т.д. задаются как пределы последовательностей каких-то других объектов. Если начать считать честно, то никогда ничего не посчитаешь.

[zykov]

wrest в сообщении #1596978 писал(а):

Чтобы Ахиллес догнал Черепаху, нужно принять и смириться с актуальной бесконечностью,

Что-то тут wrest перемудрил. "актуальная бесконечность" тут не при чем (да и для интеграла оно не важно).
В случае Ахиллеса дело в слове "никогда" в фразе "никогда не догонит".
Утверждается, что "никогда" в смысле ни на каком шаге этого бесконечного процесса не догонит. Да, в этом смысле никогда не догонит.
Но проблема в том, что "никогда" неявно переносится на другой смысл - никогда по времени. Что уже неверно, т.к. все эти шаги по времени ограниченны. Ограниченны как раз моментом времени, когда догоняет. А потом по времени и перегоняет, но этому уже никакие шаги процесса не соответствуют.

[amon]

wrest в сообщении #1596978 писал(а):

Чтобы Ахиллес догнал Черепаху, нужно принять и смириться с актуальной бесконечностью, вот именно этот микроскопический шаг ... занял все эти тысячи лет со времён Архимеда до примерно Вейерштрасса.

Вообще-то, Архимед умел суммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

[sergey zhukov]

Слышал еще такой вариант про Ахиллеса. Чтобы пробежать расстояние $A$, он сначала должен пробежать половину этого расстояния, а прежде этого - половину половины и т.д. Вывод - Ахиллес вообще не может сойти с места (Апория "Дихотомия").

Апории Зенона - это, на мой взгляд, демонстрация того, как правильное применение логики ведет к неправильным результатам. Нечто вроде софизма, только здесь специально никто не вводил никакого "подвоха". Утверждение о том, что сумма ряда сходится - это не решение вопроса. Уверен, что в то время все легко признавали, что отрезок можно бесконечно делить пополам на бесконечное количество частей, которые, разумеется, составляют в сумме этот отрезок. Т.е. бесконечные сходящиеся суммы - это пожалуйста. Но вот бесконечное количество последовательных событий за конечное время - это кажется чем-то другим.

С другой стороны, современные исследователи этих апорий, похоже, перегибают палку и приписывают этим апориям какой-то уже совсем космический смысл.