Тензорное произведение линейных отображений

[UmnyjDurak]

Добрый день.
Пусть $V_1, V_2, W_1, W_2$ произвольные векторные пространства, $V_1 \otimes V_2$ и $W_1 \otimes W_2$ их тензорные произведения, а $Hom(V_1, W_1)$ и $Hom(V_2, W_2)$ пространства линейных отображений между $V_1, W_1$ и между $V_2, W_2$ соответственно. Тогда из универсального свойства следует, что существует линейное отображение $A_{f, g}: {V_1 \otimes V_2}\to{W_1 \otimes W_2}$, такое, что $A_{f, g}(v_1 \otimes v_2) = f(v_1) \otimes g(v_2)$, где $f \in Hom(V_1, W_1)$, $g \in Hom(V_2, W_2)$, $v_1 \in V_1$, и $v_2 \in V_2$. Далее (опять же, это следует из универсального свойства тензорного произведения) существует линейное отображение $\varphi : {{Hom(V_1, W_1)} \otimes {Hom(V_2, W_2)}} \to Hom({V_1 \otimes V_2}, {W_1 \otimes W_2})$, $ \varphi (f \otimes g)=A_{f, g}$. Это отображение нам позволяет воспринимать тензорное произведение линейных отображений как линейное отображение действующее на тензорном произведение векторных пространств. Говорят, что легко заметно, что $\varphi$ инъективно. Мне это совсем не видно. Не подскажите пожалуйста как доказать инъективность?

[Slav-27]

Можно выбрать базисы и использовать тот факт, что если $E$ -- базис $M$ и $F$ -- базис $N$, то векторы вида $e\otimes f$, $e\in E, f\in F$ образуют базис $M\otimes N$.

[UmnyjDurak]

А можно пожалуйста немного подробнее?
Нам надо показать, что любое $\tau \in {Hom(V_1,W_1)}\otimes {Hom(V_2,W_2)}$, которое не равно нулевому тензору, отображается на ненулевое линейное отображение. Т.к. $\tau \ne0$, мы его можем написать как $\tau= {\sum\limits_{i}^{}{f_i \otimes g_i}}$, при этом $f_i$ линейно независимы и $g_i$ тоже линейно независимы. Но как показать что линейное отображение поставленное $\varphi$ в соотвествие этому тензору будет ненулевым? Иными словами, откуда известно, что существует ${v_1 \otimes v_2}\in {V_1 \otimes V_2} $ такой, что ${\sum\limits_{i}^{}{f_i(v_1) \otimes g_i(v_2)}} \ne 0$ ?

[Slav-27]

Можно выбрать базис и доказать, что образы векторов базиса линейно независимые.
Без базисов я не умею, но, может быть, тоже можно.

[UmnyjDurak]

Базис какого пространства Вы предлогаете выбрать? Простите, я вероятно просто туплю и не понимаю, что Вы имеете в виду

[Slav-27]

$V_1,V_2, W_1$ и $W_2$, а по ним построить базисы тензоров и $Hom$'ов -- по крайней мере если всё конечномерное.

[UmnyjDurak]

Понял, спасибо. Основная проблема здесь в том, что инъективность $\varphi$ вроде должна быть верна и для бесконечномерных пространств. Потом из неё (и из соображениях о размерности всех пространств) сразу следует что в конечномерном случае это вообще изоморфизм. Бесконечномерный случая мне не удалось найти в других источниках (но я и не очень-то хорошо умею искать, как показывает опыт).

[Slav-27]

UmnyjDurak в сообщении #1596583 писал(а):

Основная проблема здесь в том, что инъективность $\varphi$ вроде должна быть верна и для бесконечномерных пространств.

Можно же ограничиться на конечномерные подпространства и вывести из результата для конечномерных?

-- 05.06.2023, 01:57 --

Хотим доказать, что есть вектор $u\in V_1\otimes V_2$, такой что $(\varphi(\sum f_i\otimes g_i))(u)\ne 0$. Выберем для каждого $i$ вектор $v_i\in V_1$ такой что $f_i(v_i)\ne 0$, обозначим $\tilde V_1\subset V_1$ линейную оболочку $v_i$, $\tilde W_1:=\sum f_i(\tilde V_1)\subset W_1$, аналогично $\tilde V_2$ и $\tilde W_2$...

[vpb]

UmnyjDurak в сообщении #1596583 писал(а):

Потом из неё (и из соображениях о размерности всех пространств) сразу следует что в конечномерном случае это вообще изоморфизм.

Мне кажется, тут (в случае конечномерных пространств) надо наоборот действовать. Сначала выбрать базисы в $V_1, V_2, W_1,W_2$. Они определяют базисы в $V_1\otimes V_2$, $W_1\otimes W_2$, $Hom(V_i,W_i)$. Те, в свою очередь, определяют базисы в $Hom(V_1\otimes V_2, W_1\otimes W_2)$ и $Hom(V_1,W_1)\otimes Hom(V_2,W_2)$. А затем наконец проверить, что отображение между двумя последними пространствами, переводящие базисные элементы в одном в соответствующие базисные элементы в другом --- это то самое отображение, которое получается из универсального свойства. .

-- 05.06.2023, 00:50 --

Что касается бесконечномерного случая. Надо свести к конечномерному, скажем так. Отметим, что если $\alpha\colon V'\longrightarrow V$ и $\beta\colon W\longrightarrow W'$ --- линейные отображения, то естественным образом определяется отображение $Hom(V,W)\longrightarrow Hom(V',W')$, как $f\mapsto\beta\circ f\circ\alpha$. И, далее, если $\alpha_i\colon V_i'\longrightarrow V_i$ и $\beta_i\colon W_i\longrightarrow W_i'$, где $i=1,2$, то можно нарисовать коммутативную диаграмму, у которой в углах находятся
$Hom(V_1,W_1)\otimes Hom(V_2,W_2)$, $Hom(V_1\otimes V_2, W_1\otimes W_2)$, $Hom(V'_1,W'_1)\otimes Hom(V'_2,W'_2)$, и $Hom(V'_1\otimes V'_2, W'_1\otimes W'_2)$.
(Подробности того, как определяются стрелки в этой диаграмме и почему она коммутативна, оставим читателю (ибо он, кажется, достаточно сообразителен и может восполнить детали сам). На языке категорий, гомоморфизм из стартового поста есть "естественное преобразование" между некоторыми двумя функторами ).
(продолжение следует)

[vpb]

Теперь, пусть $\tau=\sum f_i\otimes g_i$ --- элемент, про который нам надо доказать, что его образ не ноль. Как уже отмечено, можно считать, что $f_i$ независимы, и $g_i$ тоже.

Мы будем использовать частный случай нашей конструкции, а именно тот, когда $V'_i$ --- подпространство в $V_i$, $\alpha_i$ --- вложение, $W'_i$ --- факторпространство для $W_i$, и $\beta_i$ --- проекция на это факторпространство. Причем и $V'_i$, и $W'_i$ берем конечномерными. Предлагается доказать, что можно выбрать $\alpha_i$, $\beta_i$ так, что $\beta_1\circ f_j\circ \alpha_1$ будут независимы, и $\beta_2\circ g_j\circ \alpha_2$ тоже.

Теперь рассмотрим диаграмму. Левая вертикальная стрелка переводит $\tau$ в $\tau'=\sum f'_j\otimes g'_j$, где
$f'_j=\beta_1\circ f_j\circ\alpha_1$, и $g'_j$ определяется аналогично. Конечно, $\tau'\ne0$. Нижняя стрелка инъективна по утверждению для конечномерных пространств. Значит сквозное отображение переводит $\tau$ не в ноль, а потому и верхняя горизонтальная стрелка --- тоже не в ноль. Но это нам и надо...

[UmnyjDurak]

Cпасибо всем, теперь вроде всё понятно!