Предел функции

[iogun]

Помогите решить предел

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-e^{-x^2}} {\ln^{2}(1+\frac{x}{2})}$$

в числителе экспонента в степени x, а сам x во второй степени. LaTeX почему то не отображает так как хотелось бы.
Как вычисляются асимптоты функции
$y=\frac{x}{2x-1}+x$
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$

[mkot]

Из числителя выносится $\mathrm{e}^{x^2}$, далее применяются стандартные эквивалентности.

Чтобы правильно отображал, поставьте фигурные скобки так:

$e^{x^2}$

[iogun]

Спасибо.
Быстро вы. Пока редактировал сообщение ответили. У меня там еще вопросиски

[ewert]

2). По определению асимптоты (в чём оно состоит?)

3). По условию выпуклости (как оно формулируется в терминах второй производной?)

[antbez]

Для вычисления предела разложите числитель и знаменатель в ряд Маклорена, ограничившись первыми несколькими слагаемыми

[iogun]

antbez писал(а):

Для вычисления предела разложите числитель и знаменатель в ряд Маклорена, ограничившись первыми несколькими слагаемыми

Правильно ли я разложил?
Числитель
$e^{x^2}-e^{-x^2}=1+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}...-1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2!x^4}-\frac{1}{3!x^6}...$
Знаменатель
$ln^2(1+\frac{x}{2})=(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{6}...)^2$

[Brukvalub]

iogun в сообщении #159929 писал(а):

$e^{x^2}-e^{-x^2}=1+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}...-1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2!x^4}-\frac{1}{3!x^6}...$

Здесь - неверно.

[antbez]

$e^ {x^ {2}}\approx 1+x^2$
$e^ {-x^ {2}}\approx 1-x^2$

[mkot]

Зачем Маклорен?
(1) $e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2} (1 - e^{-2x^2})$,
(2) $e^{x^2} \to 1$ при $x \to 0$,
(3) $e^y - 1\sim y$ при $y \to 0$,
(4) $\ln(1 + y) \sim y$ при $y \to 0$.

[antbez]

$ln(1+\frac {x} {2}) \approx \frac {x} {2}$


mkot, Ваши приближения в основном тоже следуют из ряда Маклорена

[iogun]

antbez писал(а):

$e^ {x^ {2}}\approx 1+x^2$
$e^ {-x^ {2}}\approx 1-x^2$

Соответственно
$e^{-x^2}\approx 1-x^2$

[antbez]

А вообще, конечно, можно этот пример и мысленно решить...

[mkot]

antbez писал(а):

$ln(1+\frac {x} {2}) \approx \frac {x} {2}$
mkot, Ваши приближения в основном тоже следуют из ряда Маклорена

:) Как раз наоборот, ряд Маклорена следует из этих приближений, но не будем об этом.

[iogun]

antbez
честно говоря очень стыдно. 7 лет назад закончил физмат. решал эти задачи мысленно, не расписывая на бумаге, матан в дипломе - 5, помогал сокурсникам... А сейчас ничего не помню. все позабыл. интуитивно чувствую что не правильно, а описать точно не могу

[ewert]

mkot в сообщении #159950 писал(а):

:) Как раз наоборот, ряд Маклорена следует из этих приближений, но не будем об этом.

не будем, ибо ни в коем разе

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

iogun в сообщении #159955 писал(а):

честно говоря очень стыдно. 7 лет назад закончил физмат. решал эти задачи мысленно, не расписывая на бумаге, матан в дипломе - 5, помогал сокурсникам... А сейчас ничего не помню. все позабыл. интуитивно чувствую что не правильно, а описать точно не могу

синдром Василь Иваныча: "Нутром чую, Петька, что поллитра, а доказать -- не могу!"

Тут стыдиться нечего. Любые навыки без регулярной поддержки атрофируются.