Предел функции

[antbez]

iogun, ничего страшного. Всё со временем забывается. Распишите до конца, мы проверим и исправим, если что.

Цитата:

Как раз наоборот, ряд Маклорена следует из этих приближений, но не будем об этом

Не согласен! Все замечательные пределы- тоже из рядов Маклорена. (точнее, из их нескольких первых членов).

[iogun]

Выходит решение выглядит так?
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-e^{-x^2}} {ln^{2}(1+\frac{x}{2})}\approx \lim\limits_{x\to 0} \frac {2x^2}{\frac{x^2}{4}}$\approx \lim\limits_{x\to 0} {8} = 8

[ewert]

да, и это -- наиболее лаконичная и идейная запись

[iogun]

ewert писал(а):

...синдром Василь Иваныча....

так к слову - я Иван Васильевич
Всем спасибо.

[mkot]

iogun писал(а):

Выходит решение выглядит так?
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-e^{-x^2}} {ln^{2}(1+\frac{x}{2})}\approx \lim\limits_{x\to 0} \frac {2x^2}{\frac{x^2}{4}}$\approx \lim\limits_{x\to 0} {8} = 8

Равенства должны быть СТРОГИМИ.

[ewert]

mkot в сообщении #159973 писал(а):

Равенства должны быть СТРОГИМИ.

о да, а щас ещё Brukvalub набежит и опять меня побьёт...

[Brukvalub]

ewert в сообщении #159968 писал(а):

да, и это -- наиболее лаконичная и идейная запись

Ну зачем, ну зачем, ну зачем, Вы, ув. ewert, одобряете заведомо неверные записи? (какие-то волны вместо прямых и четких знаков равенства!)

[bot]

antbez в сообщении #159960 писал(а):

Не согласен! Все замечательные пределы - тоже из рядов Маклорена. (точнее, из их нескольких первых членов).

Ну, возьмём первый замечательный предел. Вы утверждаете, что он вытекает из Маклорена $\sin x = x + o(x)$. Для ряда Маклорена нужно знать производную синуса. Откуда она получается? Не из первого ли замечательного предела?

ewert в сообщении #159975 писал(а):

о да, а щас ещё Brukvalub набежит и опять меня побьёт...

И правильно сделает. Нефиг сувать знак приближённого равенства куда не след и создавать ложное представление о том, что пределы можно считать без оценки отбрасываемой погрешности. Вы то сами ведь знаете, что отбросить можно, а что нет.

[ДДмитрий]

bot писал(а):

И правильно сделает. Нефиг сувать знак приближённого равенства куда не след и создавать ложное представление о том, что пределы можно считать без оценки отбрасываемой погрешности. Вы то сами ведь знаете, что отбросить можно, а что нет.

Прошу прощения, что не по основной теме (но она уже вроде как закрыта).

Подскажите пожалуйста а куда следует "сувать" знак приближенного равенства. Ведь пока не указана точность -- в нем нет смысла, а как только указали точность -- пишем неравенства.

Я понимаю так, что он нужен только на этапе конструирования решения или для неформального общения. А в "готовом продукте", т.е. решении, доказательстве и т.д., этому знаку вообще не место.

[ewert]

ДДмитрий в сообщении #160245 писал(а):

Ведь пока не указана точность -- в нем нет смысла, а как только указали точность -- пишем неравенства.

пока не указали точность -- равенство приближённое, а как только указали хоть какую закорючку, намекающую на погрешность -- оно в момент становится формально точным. И за этим, да, формально надобно следить, спору нет, хоть это и откровенная ловля блох.

Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды:

bot в сообщении #160057 писал(а):

ложное представление о том, что пределы можно считать без оценки отбрасываемой погрешности.

Можно. Если знаешь, что делаешь. И тады -- даже необходимо.

[naiv1]

bot в сообщении #160057 писал(а):

Нефиг сувать знак приближённого равенства куда не след

Соглашаясь с Вами по существу, хотелось бы кое-что сказать по форме. Слова сувать в словаре В. Даля нет, а слово сувать есть и оно означает следущее.

Если погуглить, то сувать имеет 91700 ссылок, а совать имеет 283700 ссылок, в три раза больше. Там интересно посмотреть кто и в каких случаях используют эти слова.

Не ошиблись ли Вы в написании?

[Brukvalub]

naiv1 в сообщении #160322 писал(а):

Слова сувать в словаре В. Даля нет, а слово сувать есть и оно означает следущее.

naiv1 в сообщении #160322 писал(а):

Не ошиблись ли Вы в написании?

А Вы не ошиблись?

[naiv1]

Brukvalub в сообщении #160323 писал(а):

А Вы не ошиблись?

Описался (ударение на третьем слоге-проверил!) .

Исправленный вариант сообщения.

bot в сообщении #160057 писал(а):

Нефиг сувать знак приближённого равенства куда не след

Соглашаясь с Вами по существу, хотелось бы сказать, что слова сувать в словаре В. Даля нет, а слово совать есть и оно означает следущее.

Если погуглить, то сувать имеет 91700 ссылок, а совать имеет 283700 ссылок, в три раза больше. Там еще интересно посмотреть кто и в каких случаях используют эти слова.

Не ошиблись ли Вы в написании?

[bot]

naiv1 в сообщении #160347 писал(а):

Не ошиблись ли Вы в написании?

Ошибся, причём сознательно ошибся, чтобы подчеркнуть, что будет делать простодушный крестьянин (что ли ударение на последний слог поставить?), если обучающий станет в процессе обучения позволять привычные для себя вольности и утаивать границы этой вольности. Вот про это я и сказал нефиг. Кстати, у Даля слова нефиг тоже нет.

ДДмитрий в сообщении #160245 писал(а):

Подскажите пожалуйста а куда следует "сувать" знак приближенного равенства.

В приближённые вычисления.
Что касается данного предела, то есть такое понятие эквивалентности двух функций при $x\to$ куда-нибудь. Говорят, что $f(x) \sim g(x)$ при $x\to a$ (вместо a может быть и $\infty$), если $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.
Равносильная запись $f\sim g\iff f=g+o(g)$. Легко понять, что при вычислении предела любой множитель можно заменить на эквивалентный. Вот применение этого правила ewert и назвал самой грамотной и лаконичной записью. По сути он прав - вот только это грамотное и лаконичное решение было смазано безграмотным обозначением, которое ewert проигнорировал, а Brukvalub, а вслед за ним и я - нет. Правило действует не только в случае множителя, но и ещё кое-когда, но далеко не всегда. Например, если слагаемое изменить на эквивалентное, то предел может поменяться, а может и не поменяться - это как раз и зависит от оценки отбрасываемой величины $o(g)$. В некоторых случаех хватает информации о том, что она о малая, а в других случаях этой информации недостаточно и её надо уточнять.

Пример хороший вспомнился по поводу допустимости и недопустимости некоторых вольностей, в зависимости от условий.
Караульный на аэродроме засёк двух механиков возле самолёта - те стояли перед открытым ведром с керосином и курили. Это же вопиющее нарушение противопожарной безопасности! Мчится к ним, начинает разгон, а те смеются:
- Чего кипятишься, вот смотри ... и бросают бычки в ведро - бычки гаснут. Караульный обалдел, тоже закурил, проверил и помчался поделиться таким открытием к другому караульному - тот в ангаре стоял, а неподалёку ведро с керосином нашлось.
- Хочешь, фокус покажу?
Что было дальше, сами можете догадаться - на улице ведь ветерок, а в помещении его нету.

ЗЫ. Кстати, как и говорили, никакого приближённого равенства там и не было - равенства между пределами точные, преобразовывалось без изменения предела само выражение. Так что если и пользоваться каким-либо знаком, то следовало сказать, что этот знак здесь употребляется в том смысле, что пределы выражений по обе стороны от знака равны, а почему равны - вот тут уже пошли те вольности, которые можно допускать, когда знаешь последствия.