Бесконечные преобразования

[Doctor Boom]

Пусть у нас есть бесконечный ряд из мудрецов в синих колпаках, каждый мудрец носит натуральное число на робе. Дальше первый мудрец меняет синий калпак на красный, а у всех других мудрецов есть инструкция - если сосед сзади сменил калпак на красный, то и он тоже меняет.
Собственно, вопрос - верно ли, что после этой процедуры мы получим бесконечное множество мудрецов с красными колпаками? Как это формально записать? Просто если смотреть поэтапно, то множество мудрецов с красными колпаками всегда конечно

[mihaild]

Для случая, когда каждый мудрец меняет колпак только конечное число раз, разумно считать его итоговым цветом последний.

[Mihr]

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

Собственно, вопрос - верно ли, что после этой процедуры мы получим бесконечное множество мудрецов с красными колпаками?

Верно.

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

Как это формально записать?

См. Аксиомы Пеано, аксиома 5.

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

если смотреть поэтапно, то множество мудрецов с красными колпаками всегда конечно

Однако до каждого мудреца в синем колпаке очередь когда-либо доходит. И каждый мудрец когда-либо меняет цвет колпака на красный.

-- 29.05.2023, 23:22 --

Я предполагаю, что под "соседом сзади" Вы подразумеваете непосредственно предшествующего. Это так?

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1595790 писал(а):

Для случая, когда каждый мудрец меняет колпак только конечное число раз, разумно считать его итоговым цветом последний.

Логично

Mihr в сообщении #1595792 писал(а):

См. Аксиомы Пеано
, аксиома 5.

Тут возникает вопрос, насколько ее адекватно применять? Ведь у нас процесс, а не "статичное" свойство, которое можно описать в рамках пятой аксиомы как бы во всей бесконечности. Если допустим мы не признаем актуальной бесконечности в рамках конструктивизма, то этот алгоритм только выдаст структуру вида "на каждом конечном шаге у нас такое-то конечное множество мудрецов с красными шляпами". А если смена колпака занимает секунду?

Mihr в сообщении #1595792 писал(а):

Я предполагаю, что под "соседом сзади" Вы подразумеваете непосредственно предшествующего. Это так?

Верно

[Mihr]

Doctor Boom в сообщении #1595795 писал(а):

Тут возникает, насколько ее адекватно применять?

Ровно настолько же, насколько и использовать модель "бесконечное множество мудрецов".

Doctor Boom в сообщении #1595795 писал(а):

А если смена колпака занимает секунду?

То процесс займёт бесконечное множество секунд. Почему Вас смущает именно это, но само бесконечное множество мудрецов не смущает?

[Doctor Boom]

Mihr в сообщении #1595796 писал(а):

Ровно настолько же, насколько и использовать модель "бесконечное множество мудрецов".

Понятно, что такое бесконечное множество объектов, но что такое бесконечное множество действий... Это надо определять отдельно. Можно определить так, чтобы результат совпадал с рассуждениями по индукции

-- 29.05.2023, 23:49 --

Mihr в сообщении #1595796 писал(а):

То процесс займёт бесконечное множество секунд

Как вы определите бесконечное множество секунд?

-- 29.05.2023, 23:52 --

Doctor Boom в сообщении #1595798 писал(а):

Можно определить так, чтобы результат совпадал с рассуждениями по индукции

Я бы определил так "это множество изначальных мудрецов, где каждый мудрец сменил колпак"

[Mihr]

Doctor Boom в сообщении #1595798 писал(а):

Понятно, что такое бесконечное множество объектов, но что такое бесконечное множество действий...

Напротив, совершенно непонятно, чем бесконечное множество объектов лучше или хуже бесконечного множества действий. Почему можно допустить/вообразить одно, но нельзя - другое?

[Doctor Boom]

Нам вообще ничто не мешает рассмотреть частично упорядоченное множество секунд $1, 2, 3,...-1,-2,-3...$, где на "отрицательных" номерах все мудрецы сидели бы в желтых колпаках. Т.е. вообще нет времени, где у них у всех были бы красные колпаки

-- 29.05.2023, 23:59 --

Mihr в сообщении #1595800 писал(а):

Почему можно допустить/вообразить одно, но нельзя - другое?

У вас есть универсальный алгоритм, чтобы определить результат после бесконечного количества действий? Вообще, а не только в данной задаче

[Mihr]

Doctor Boom в сообщении #1595802 писал(а):

Вообще, а не только в данной задаче

Вообще - нет, и что? Множества тоже бывают довольно причудливые, и не все их можно вообразить. Я вот не могу зримо представить себе Канторово совершенное множество. Или множество точек плоскости, у которых рациональна ровно одна координата. А Вы можете?
Честно говоря, я уже плохо понимаю, о чём это разговор. Что конкретно Вам кажется сомнительным?

-- 30.05.2023, 00:10 --

Doctor Boom в сообщении #1595802 писал(а):

Нам вообще ничто не мешает рассмотреть частично упорядоченное множество секунд $1, 2, 3,...-1,-2,-3...$, где на "отрицательных" номерах все мудрецы сидели бы в желтых колпаках.

Здесь Вы меняете условие задачи на ходу. Вы сами-то понимаете, что именно хотите прояснить для себя?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1595798 писал(а):

Понятно, что такое бесконечное множество объектов, но что такое бесконечное множество действий... Это надо определять отдельно.

А что такое

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

после этой процедуры

?

[Red_Herring]

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

верно ли, что после этой процедуры мы получим бесконечное множество мудрецов с красными колпаками?

Необязательно.

Инструкция, мягко говоря, странная. Помимо того, что у мудрецов глаз на затылке нет

Doctor Boom в сообщении #1595789 писал(а):

если сосед сзади сменил калпак на красный, то и он тоже меняет.

, а вертеться мудрость не велит, инструкция не запрещает мудрецу сменить красный колпак на синий, если у него зачешется левая пятка.

[Doctor Boom]

Mihr в сообщении #1595804 писал(а):

Здесь Вы меняете условие задачи на ходу. Вы сами-то понимаете, что именно хотите прояснить для себя?

Смотрите, вот допустим у нас есть такое частично упорядоченное множество моментов времени
$1,2,3,...,-1,-2,-3...$
Возьмем утверждение "момент времени $1$ красный, и из того, что$n$-ый момент времени красный следует, что и $n+1$-ый момент времени тоже красный", из него следует, все все моменты времени до $-1$ красные, т.е. $1K,2K,3K,...-1,-2,-3$
Теперь возьмем случай для шляп наших мудрецов, будем иметь такое множество (совокупность шляп мудрецов в зависимости от времени)
$1-K,C,C,...$
$2-K,K,C,...$
$3-K,K,K,C,C,...$
$....$
$-1 - ?$
Укажите момент времени, которому будет соответствовать множество красных колпаков $K,K,K...$
Момент времени, который идет сразу после всех натуральных это $-1$, состояния шляп там не определено (надо использовать трансфинитную индукцию), потому что в этот моменте все шляпы можно сделать желтыми, это не будет противоречить обычной ранее рассмотренной индукции.

-- 30.05.2023, 01:29 --

mihaild в сообщении #1595806 писал(а):

А что такое после этой процедуры ?

Ну вот, это вопрос к Mihr, он же уже ответил

Mihr в сообщении #1595792 писал(а):

См. Аксиомы Пеано
, аксиома 5.

-- 30.05.2023, 01:31 --

Mihr в сообщении #1595804 писал(а):

Что конкретно Вам кажется сомнительным?

Ну вот у mihaild вопрос, что значит окончание моей бесконечной процедуры

[wrest]

Повеяло духом мудреца Зенона, однако...

[zykov]

Doctor Boom в сообщении #1595812 писал(а):

что значит окончание моей бесконечной процедуры

Ничего не значит.
Там очевидно, нет окончания.
Тут просто надо дать определение, что-то вроде "для каждого мудреца найдётся конечное $n$, такое что для всех шагов больше $n$ колпак мудреца будет неизменен и будет иметь такой-то цвет".

Пеано тут не причем. Пеано про арифметику. А тут алгоритмы.
Для логического анализа алгоритмов (и state machines) используют Temporal logic.

[Mihr]

Red_Herring в сообщении #1595807 писал(а):

Инструкция, мягко говоря, странная. Помимо того, что у мудрецов глаз на затылке нет

Как говорил Василий Ливанов в образе Шерлока Холмса, у каждого сыщика на ушах есть такие особые тепловые точки... Давайте предположим, что и у каждого мудреца тоже. А так как синяя и красная поверхности должны излучать несколько по-разному, то мудрец ушами определит цвет колпака у соседа сзади

Red_Herring в сообщении #1595807 писал(а):

инструкция не запрещает мудрецу сменить красный колпак на синий, если у него зачешется левая пятка.

Зато мудрость запрещает оставаться немытым. Так что и чесаться ничего не должно

Doctor Boom в сообщении #1595812 писал(а):

Укажите момент времени, которому будет соответствовать множество красных колпаков

Пожалуйста. Сразу после того, как Вы назовёте точное число мудрецов

zykov в сообщении #1595822 писал(а):

Пеано тут не причем.

Ну как же ни при чём? Пятая аксиома Пеано - это схема полной математической индукции. А у ТС описывается именно она.

zykov в сообщении #1595822 писал(а):

А тут алгоритмы.

Что из того?