Кто доказал эту комбинаторную теорему?

[mathematician123]

Для доказательства одно утверждения про кольца понадобилось следующее вспомогательное утверждение:

Пусть $n$ --- натуральное число, а $X \subset \mathbb{N}^n$ --- бесконечное множество. Тогда в $X$ найдутся два различных элемента $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ и $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$, такие что $a_i \ge b_i$ при всех $i \in [1, n]$.

Похоже, что это какая-то известная комбинаторная теорема. Так ли это?

[Geen]

А это верное утверждение? Например, $(x+1,1)$ и $(1,y+1)$?

[mathematician123]

Geen
Для этого примера можно взять пары $(3, 1)$ и $(2, 1)$. То есть, $a_i$ и $b_i$ могут быть равными.

[vpb]

Странно, что она

Koren10 в сообщении #1595652 писал(а):

была доказана в 1927 году немецким математиком Эрнстом Штейнером.

якобы. На самом деле она доказывается индукцией по $n$ за пять минут. Оставим читателю в качестве упражнения.

(Указание)

(Просто возьмем произвольный элемент из $X$. Множество всех элементов из ${\mathbb N}^n$, которые не больше него, очевидным образом раскладывается (не однозначно, впрочем) в объединение нескольких (конечного числа) подмножеств, лежащих в "слоях" размерности $n-1$. ).