2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кто доказал эту комбинаторную теорему?
Сообщение28.05.2023, 16:28 
Для доказательства одно утверждения про кольца понадобилось следующее вспомогательное утверждение:

Пусть $n$ --- натуральное число, а $X \subset \mathbb{N}^n$ --- бесконечное множество. Тогда в $X$ найдутся два различных элемента $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ и $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$, такие что $a_i \ge b_i$ при всех $i \in [1, n]$.

Похоже, что это какая-то известная комбинаторная теорема. Так ли это?

 
 
 
 Re: Кто доказал эту комбинаторную теорему?
Сообщение28.05.2023, 16:46 
Аватара пользователя
А это верное утверждение? Например, $(x+1,1)$ и $(1,y+1)$?

 
 
 
 Re: Кто доказал эту комбинаторную теорему?
Сообщение28.05.2023, 16:59 
Geen
Для этого примера можно взять пары $(3, 1)$ и $(2, 1)$. То есть, $a_i$ и $b_i$ могут быть равными.

 
 
 
 Re: Кто доказал эту комбинаторную теорему?
Сообщение30.05.2023, 22:01 
Странно, что она
Koren10 в сообщении #1595652 писал(а):
была доказана в 1927 году немецким математиком Эрнстом Штейнером.
якобы. На самом деле она доказывается индукцией по $n$ за пять минут. Оставим читателю в качестве упражнения.

(Указание)

(Просто возьмем произвольный элемент из $X$. Множество всех элементов из ${\mathbb N}^n$, которые не больше него, очевидным образом раскладывается (не однозначно, впрочем) в объединение нескольких (конечного числа) подмножеств, лежащих в "слоях" размерности $n-1$. ).

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group