ЦПТ. Задача

[upjump]

Всем доброго времени суток!

Задача:

Вероятность появления события $A$ в $k$-м испытании равна $p_k$, $\mu$-число появлений события $A$ в серии из $n$ независимых испытаний. Доказать, что

$$ P\left\{\frac{\mu-\sum_{k=1}^n p_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n p_k q_k}}<x\right\} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{z^2}{2}} d z $$

тогда и только тогда, когда $\sum_{k=1}^{\infty} p_k q_k=\infty$.


При $\sum_{k=1}^{\infty} p_k q_k=\infty$ переход к нормальному распределению проверяется очевидно через т. Ляпунова. А вот как в обратную сторону не ясно. Можно было бы применить т. Линдеберга, но в ней есть одно небольшое условие: $\max(k\leqslant n) P\left\{\left\lvert\frac{\xi_k-p_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n p_k q_k}}\right\rvert>\varepsilon\right\} \rightarrow 0$, при $n \rightarrow \infty$ и для любого $\varepsilon > 0$ . Как его проверить ума не приложу.

[upjump]

Сообразил такое доказательство.

Можно заметить что

$$\Phi\left(\infty\right) - \Phi\left(-\infty\right) = 1 = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}_{n} \left( \mu = k \right) = $$ $$ = \lim_{n\to\infty} \mathbb{P} \left( -\frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \leq \frac{\mu - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \leq \frac{n - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \right) = \Phi\left(\frac{n - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}}\right) - \Phi\left( -\frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}}\right).$$

Следовательно

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} = \infty.$$

Пусть

$$\lim_{n\to\infty} \mathbb{D}\mu < \infty.$$

Следовательно

$$\lim_{n\to\infty} \mathbb{M}\mu < \infty.$$

Но тогда

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} < \infty.$$

Следовательно

$$\lim_{n\to\infty} \mathbb{D}\mu = \infty.$$

[Alex Krylov]

Еще можно попробовать пойти через моменты, задействовав предельную теорему Фреше–Шохата [1]:

Цитата:

Пусть $F_n(x), n=1,2...$ - последовательность функций распределения. Если при каждом $n=1,2,...$ $F_n(x)$ обладают конечными моментами $m_k(n)$ любого порядка и если $m_k(n)\to m_k\; (n\to\infty)$, то $m_k$ — моменты некоторой функции распределения $F(x)$. Если, кроме того, $F(x)$ своими моментами определятся однозначно, то при $n\to\infty$ последовательность $F_n(x)$ сходится к $F(x)$ в каждой точке непрерывности $F(x)$.

В [1] также дана подборка условий (удобно проверяемых), при которых моменты однозначно определяют некоторое распределение (условия М-определенности).

Не знаю, как насчет мультиномиального распределения, но в случае с биномиальным распределением допредельные выражения для моментов случайной величины $\frac{\mu-n p}{\sqrt{n p (1-p)}}$, фигурирующей в теореме Муавра-Лапласа, имеют вполне обозримый вид. И в результате предельного перехода легко получаются моменты стандартного нормального распределения (которое М-определенно). Разумеется, все это имеет смысл, когда $p(1-p)\ne0$, т.е. когда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}p(1-p)=\infty$.

1) Gwo Dong Lin, Recent Developments on the Moment Problem, http://arxiv.org/abs/1703.01027v3

[upjump]

Alex Krylov
Благодарю за информацию.

[upjump]

Alex Krylov
Вроде это подходит только для достаточности?