2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЦПТ. Задача
Сообщение24.05.2023, 19:03 


22/06/19
62
Всем доброго времени суток!

Задача:

Вероятность появления события $A$ в $k$-м испытании равна $p_k$, $\mu$-число появлений события $A$ в серии из $n$ независимых испытаний. Доказать, что
$$
P\left\{\frac{\mu-\sum_{k=1}^n p_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n p_k q_k}}<x\right\} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{z^2}{2}} d z
$$
тогда и только тогда, когда $\sum_{k=1}^{\infty} p_k q_k=\infty$.


При $\sum_{k=1}^{\infty} p_k q_k=\infty$ переход к нормальному распределению проверяется очевидно через т. Ляпунова. А вот как в обратную сторону не ясно. Можно было бы применить т. Линдеберга, но в ней есть одно небольшое условие: $\max(k\leqslant n) P\left\{\left\lvert\frac{\xi_k-p_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n p_k q_k}}\right\rvert>\varepsilon\right\} \rightarrow 0$, при $n \rightarrow \infty$ и для любого $\varepsilon > 0$ . Как его проверить ума не приложу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЦПТ. Задача
Сообщение26.05.2023, 13:53 


22/06/19
62
Сообразил такое доказательство.

Можно заметить что
$$\Phi\left(\infty\right) - \Phi\left(-\infty\right) = 1 = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}_{n} \left( \mu = k \right) = $$ $$ =   \lim_{n\to\infty} \mathbb{P} \left( -\frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \leq \frac{\mu - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \leq \frac{n - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} \right) = \Phi\left(\frac{n - \mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}}\right) - \Phi\left( -\frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}}\right).$$
Следовательно $$\lim_{n\to\infty} \frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} = \infty.$$
Пусть $$\lim_{n\to\infty} \mathbb{D}\mu < \infty.$$
Следовательно $$\lim_{n\to\infty} \mathbb{M}\mu < \infty.$$
Но тогда $$\lim_{n\to\infty} \frac{\mathbb{M}\mu}{\sqrt{\mathbb{D}\mu}} < \infty.$$
Следовательно $$\lim_{n\to\infty} \mathbb{D}\mu = \infty.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЦПТ. Задача
Сообщение27.05.2023, 06:51 


14/11/21
156
Еще можно попробовать пойти через моменты, задействовав предельную теорему Фреше–Шохата [1]:
Цитата:
Пусть $F_n(x), n=1,2...$ - последовательность функций распределения. Если при каждом $n=1,2,...$ $F_n(x)$ обладают конечными моментами $m_k(n)$ любого порядка и если $m_k(n)\to m_k\; (n\to\infty)$, то $m_k$ — моменты некоторой функции распределения $F(x)$. Если, кроме того, $F(x)$ своими моментами определятся однозначно, то при $n\to\infty$ последовательность $F_n(x)$ сходится к $F(x)$ в каждой точке непрерывности $F(x)$.


В [1] также дана подборка условий (удобно проверяемых), при которых моменты однозначно определяют некоторое распределение (условия М-определенности).

Не знаю, как насчет мультиномиального распределения, но в случае с биномиальным распределением допредельные выражения для моментов случайной величины $\frac{\mu-n p}{\sqrt{n p (1-p)}}$, фигурирующей в теореме Муавра-Лапласа, имеют вполне обозримый вид. И в результате предельного перехода легко получаются моменты стандартного нормального распределения (которое М-определенно). Разумеется, все это имеет смысл, когда $p(1-p)\ne0$, т.е. когда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}p(1-p)=\infty$.

1) Gwo Dong Lin, Recent Developments on the Moment Problem, http://arxiv.org/abs/1703.01027v3

 Профиль  
                  
 
 Re: ЦПТ. Задача
Сообщение27.05.2023, 09:20 


22/06/19
62
Alex Krylov
Благодарю за информацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЦПТ. Задача
Сообщение27.05.2023, 10:28 


22/06/19
62
Alex Krylov
Вроде это подходит только для достаточности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group