Еще можно попробовать пойти через моменты, задействовав
предельную теорему Фреше–Шохата [1]:
Цитата:
Пусть

- последовательность функций распределения. Если при каждом

обладают конечными моментами

любого порядка и если

, то

— моменты некоторой функции распределения

. Если, кроме того,

своими моментами определятся однозначно, то при

последовательность

сходится к

в каждой точке непрерывности

.
В [1] также дана подборка условий (удобно проверяемых), при которых моменты однозначно определяют некоторое распределение (условия М-определенности).
Не знаю, как насчет мультиномиального распределения, но в случае с биномиальным распределением допредельные выражения для моментов случайной величины

, фигурирующей в теореме Муавра-Лапласа, имеют вполне обозримый вид. И в результате предельного перехода легко получаются моменты стандартного нормального распределения (которое М-определенно). Разумеется, все это имеет смысл, когда

, т.е. когда

.
1) Gwo Dong Lin, Recent Developments on the Moment Problem,
http://arxiv.org/abs/1703.01027v3