2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 ... 40  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 20:18 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Смысл задавать такой вопрос на форуме?
Можно же просто проверить:
$(-1-i)^3 = 2-2i$, а $(1-i)^3 \ne 2-2i$.
И сразу становится понятно.
[Можно просто сразу несколько опечаток указать, чтобы ветка не была столь уж длинной.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 20:26 


03/06/12
2862
GAA в сообщении #1586052 писал(а):
[Можно просто сразу несколько опечаток указать, чтобы ветка не была столь уж длинной.]

Так выясняется-то не сразу, а по мере прорешивания, а пока от предыдущей до очередной опечатки прорешаешь, столько воды утечет, столько мыслей через голову пройдет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 20:40 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
В пункте п) и у Вас, и в задачнике ответ недосчитаный. Там ответ выражается без двойных корней, только через простые. Кроме того, решение слишком громоздкое. Я выше писал про то, как там можно рассуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 21:38 


03/06/12
2862
vpb в сообщении #1586054 писал(а):
В пункте п) и у Вас, и в задачнике ответ недосчитаный. Там ответ выражается без двойных корней, только через простые.

Ну это понятно. Например, $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{3}-1)$. я уже делал такие же преобразования квадратных корней раньше:
Sinoid в сообщении #1585367 писал(а):

(Вот мое решение)

$\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)=2^{\frac{1}{6}}\left(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}i}{2^{\frac{3}{2}}}\right)=$
$\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}}(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)=$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)$...
, поэтому в этот раз и не стал с этим заморачиваться здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение27.05.2023, 00:46 


03/06/12
2862
Пытаюсь решить задачу 22.7:
Изображение
Скажите, пожалуйста, а разве это так? Разве формула для доказательства, приведенная в задаче, верна? Ведь корень уравнения $\sin mx=0$ имеет вид $\dfrac{\pi j}{m}$, а не $\dfrac{2\pi j}{m}$ и потому, разве в правой части формулы должно стоять $-\sin^{2}\dfrac{2\pi j}{m}$, а не $-\sin^{2}\dfrac{\pi j}{m}$. Кроме того, поскольку 0 тоже является корнем уравнения $\sin mx=0$, разве $j$ должно изменяться, начиная с 1, а не с 0? Короче, на мой весьма ограниченный взгляд, формула, подлежащая доказательству, имеет следующий вид: $\dfrac{\sin mx}{\sin x}=(-4)^{(m-1)/2}{\displaystyle \prod_{0\leqslant j\leqslant(m-1)/2}\left(\sin^{2}x-\sin^{2}\dfrac{\pi j}{m}\right)}$. А что вы думаете по этому поводу? В издании 2009 года дана точно такая же, на мой взгляд, неверная формула.

-- 27.05.2023, 01:57 --

Или, если прям уж совсем нужно взять наименьшее значение $j$ именно таким, то тогда нужно перед произведением, $\prod$, поставить еще множитель $\sin^2x$ (я сказал "перед произведением", исключительно для того, чтобы наверняка однозначно можно было понять, что именно будет умножаться на этот $\sin^2x$, ведь, если поставить после $\prod$, то понять по-разному можно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение27.05.2023, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Sinoid в сообщении #1595477 писал(а):
Разве формула для доказательства, приведенная в задаче, верна?
Формула верная. $x=0$ не является корнем левой части. Множества $\{\sin^2\left(\frac{2\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ и $\{\sin^2\left(\frac{\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ совпадают (при нечётном $m$).

-- Сб 2023-05-27 02:44:06 --

Для начала докажите, что $\frac{\sin mx}{\sin x}=P_m(\sin^2x)$, где $P_m(t)=(-4)^{(m-1)/2}t^{(m-1)/2}+\dotsb+m$ — некоторый многочлен. Для этого рассмотрите $\sin(m+2)x+\sin(m-2)x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение28.05.2023, 19:00 


03/06/12
2862

(Оффтоп)

Не успел дописать ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение28.05.2023, 19:51 


14/11/21
141
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
Цитата:
$T_{2n+1}(\sin(\theta)) = (-1)^n \sin((2n+1)\theta)$, где $T_{n}$ - многочлены Чебышева 1-го рода

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение29.05.2023, 02:02 


03/06/12
2862
RIP в сообщении #1595478 писал(а):
Для начала докажите, что $\frac{\sin mx}{\sin x}=P_m(\sin^2x)$, где $P_m(t)=(-4)^{(m-1)/2}t^{(m-1)/2}+\dotsb+m$ — некоторый многочлен. Для этого рассмотрите $\sin(m+2)x+\sin(m-2)x$.

Смотрите, как решал я. В силу задачи 4.12, в) обсуждаемого задачника я могу написать равенство:
$$\dfrac{\sin n\theta}{\sin\theta}=(2\cos\theta)^{n-1}-C_{n-2}^{1}(2\cos\theta)^{n-3}+C_{n-3}^{2}(2\cos\theta)^{n-5}+\ldots$$

(Продолжение решения)

Применяя эту формулу к решаемой задаче, получу:
$$\dfrac{\sin mx}{\sin x}=(2\cos x)^{m-1}-C_{m-2}^{1}(2\cos x)^{m-3}+C_{m-3}^{2}(2\cos x)^{m-5}+\ldots$$
Принимая во внимание нечетность $m$ в этой задаче, а, значит, и целость чисел $\dfrac{m-1-2k}{2}$, где $k=0,\,1,\ldots,\dfrac{m-1}{2}$ ($\dfrac{m-1}{2}$ тоже целое), переписываю последнее равенство в следующем виде:
$\dfrac{\sin mx}{\sin x}=(4(1-\sin^{2}x))^{\frac{m-1}{2}}-C_{m-2}^{1}(4(1-\sin^{2}x))^{\frac{m-3}{2}}+C_{m-3}^{2}(4(1-\sin^{2}x))^{\frac{m-5}{2}}+\ldots$
Рассматриваю правую часть последнего равенства как многочлен от $\sin^{2}x$. Тогда старший коэффициент этого многочлена равен старшему коэффициенту первой скобки правой части последнего равенства, рассматриваемой как многочлен от $\sin^{2}x$, т. е., равен он $(-4)^{(m-1)/2}$. Корни этого уравнения есть квадраты синусов корней уравнения $\dfrac{\sin mx}{\sin x}=0$, т.е., квадраты синусов таких чисел $x_i$, при которых $\sin mx_i=0$, но $\sin x_i\ne0$. Выписываю значения таких $x_i$ сериями: $\ldots\underbrace{\dfrac{\pi}{m},\,\dfrac{2\pi}{m},\ldots,\,\dfrac{(m-1)\pi}{m}},\underbrace{\dfrac{(m+1)\pi}{m},\,\dfrac{(m+2)\pi}{m},\ldots,\,\dfrac{(2m-1)\pi}{m}},\ldots$. Здесь запись этих значений $x_i$ продолжается, понятно, неограниченно в обе стороны. Здесь $x_i$, принадлежащие одной серии, объединены одной нижней фигурной скобкой. Для чего вводится группировка по сериям, я объясню чуть ниже. Выпишу значения квадратов синусов только что записанных значений $x_i$, сохраняя группировку по сериям соответствующим образом: $\ldots\underbrace{\sin^{2}\dfrac{\pi}{m},\sin^{2}\,\dfrac{2\pi}{m},\ldots,\,\sin^{2}\dfrac{(m-1)\pi}{m}},\underbrace{\sin^{2}\dfrac{(m+1)\pi}{m},\,\sin^{2}\dfrac{(m+2)\pi}{m},\ldots,\sin^{2}\,\dfrac{(2m-1)\pi}{m}},\ldots$. Выясню, какие же на самом деле различные значения содержатся в выписанном бесконечном множестве квадратов синусов. Для этого, во-первых, замечу, что, если $r$ - какое-либо натуральное число такое, что $1\leqslant r\leqslant m-1$ (вообще при такой записи значений $x_i$ получается, что доказательство я провожу для случая положительного $m$), а $q$ - вообще произвольное целое число, то имеет место равенство: $\left|\sin\dfrac{(qm+r)\pi}{m}\right|=\left|\sin\dfrac{r\pi}{m}\right|$, а потому и $\sin^2\dfrac{(qm+r)\pi}{m}=\sin^2\dfrac{r\pi}{m}$. Т. е. для выяснения того, что я поставил целью выяснить выше, достаточно ограничиться одной серией. Именно для этого я и ввел объединение в серии. Возьму простейшую из серий: $\sin^{2}\dfrac{\pi}{m},\sin^{2}\,\dfrac{2\pi}{m},\ldots,\,\sin^{2}\dfrac{(m-1)\pi}{m}$. В этой серии, если $r$ - опять-таки $r$, оговоренное выше, выполняется равенство: $\sin\dfrac{(m-r)\pi}{m}=\sin\dfrac{r\pi}{m}$, а, значит, и равенство $\sin^{2}\dfrac{(m-r)\pi}{m}=\sin^{2}\dfrac{r\pi}{m}$. Таким образом, перечень попарно различных квадратов синусов из данной серии выглядит следующим образом: $\sin^{2}\dfrac{\pi}{m},\,\sin^{2}\dfrac{2\pi}{m},\ldots,\,\sin^{2}\dfrac{(m-1)\pi}{2m}$, т. е., количество этих квадратов синусов равно $\dfrac{m-1}{2}$, что как раз совпадает со степенью начатого мной рассматриваться выше многочлена от $\sin^{2}x$. На этом основании я делаю вывод, что формула, которую требуется доказать в задаче, правильно записывается следующим образом:${\displaystyle \frac{\sin mx}{\sin x}=(-4)^{(m-1)/2}\prod_{1\leqslant j\leqslant(m-1)/2}\left(\sin^{2}x-\sin^{2}\dfrac{\pi j}{m}\right)}$, а это вместе с тем еще и означает, высказывания, сделанные мной здесь:
Sinoid в сообщении #1595477 писал(а):
Короче, на мой весьма ограниченный взгляд, формула, подлежащая доказательству, имеет следующий вид: $\dfrac{\sin mx}{\sin x}=(-4)^{(m-1)/2}{\displaystyle \prod_{0\leqslant j\leqslant(m-1)/2}\left(\sin^{2}x-\sin^{2}\dfrac{\pi j}{m}\right)}$.

и здесь:
Sinoid в сообщении #1595477 писал(а):
Или, если прям уж совсем нужно взять наименьшее значение $j$ именно таким, то тогда нужно перед произведением, $\prod$, поставить еще множитель $\sin^2x$

неверны.


-- 29.05.2023, 03:08 --

Alex Krylov в сообщении #1595651 писал(а):
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
Цитата:
$T_{2n+1}(\sin(\theta)) = (-1)^n \sin((2n+1)\theta)$, где $T_{n}$ - многочлены Чебышева 1-го рода

Да-да, конечно, полиномы Лагерра, Чебышева, Эрмита... С этим я уже поверхностно сталкивался. Но сейчас пользоваться этими уже развитыми теориями нельзя. Сейчас нельзя пользоваться даже тем поверхностным, что удалось найти мне тогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.06.2023, 17:32 


03/06/12
2862
RIP в сообщении #1595478 писал(а):
Множества $\{\sin^2\left(\frac{2\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ и $\{\sin^2\left(\frac{\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ совпадают (при нечётном $m$).

Спасибо большое за отклик, только сейчас закончил с этим разбираться: до этого пришлось отвлечься на другую задачу. А вот это. В данном случае $m=2n+1$. Так для доказательства утверждения из цитаты нужно же рассматривать отдельно случай четного и нечетного $n$? У меня получилось так. Или можно доказать сразу в общем случае?

RIP в сообщении #1595478 писал(а):
Для начала докажите, что $\frac{\sin mx}{\sin x}=P_m(\sin^2x)$, где $P_m(t)=(-4)^{(m-1)/2}t^{(m-1)/2}+\dotsb+m$ — некоторый многочлен. Для этого рассмотрите $\sin(m+2)x+\sin(m-2)x$.

Нет, я пошел через решенную ранее задачу 4.12:
Изображение

-- 05.06.2023, 19:19 --

Скажите, пожалуйста, а в задаче 22.17, в):
Изображение
Нужно же решить каждое из четырех уравнений, получающееся при всевозможных комбинациях знаков? Т. е. $x^{n}+x^{m}-1=0$, $x^{n}-x^{m}+1=0$, и т. д. Так ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.06.2023, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
Sinoid в сообщении #1596671 писал(а):
Так ведь?

Да. И мне кажется, что там есть мелкая неточность в ответе, которая вас не должна смущать.

-- Пн июн 05, 2023 21:00:30 --

Sinoid в сообщении #1596671 писал(а):
Скажите, пожалуйста, а в задаче 22.17, в):

Если с этой задачей будут трудности, то в оффтопе небольшая подсказка:

(Оффтоп)

Для начала подумайте, чему могут вообще равняться величины $z^n$ и $z^m$ . Там не так уж и много различных вариантов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.06.2023, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Sinoid в сообщении #1596671 писал(а):
RIP в сообщении #1595478 писал(а):
Множества $\{\sin^2\left(\frac{2\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ и $\{\sin^2\left(\frac{\pi j}{m}\right)\mid1\leqslant j\leqslant\frac{m-1}{2}\}$ совпадают (при нечётном $m$).

Спасибо большое за отклик, только сейчас закончил с этим разбираться: до этого пришлось отвлечься на другую задачу. А вот это. В данном случае $m=2n+1$. Так для доказательства утверждения из цитаты нужно же рассматривать отдельно случай четного и нечетного $n$? У меня получилось так. Или можно доказать сразу в общем случае?
Во втором множестве нужно просто заменить все $\sin\frac{\pi j}{m}$ с нечётными $j$ на $\sin\frac{\pi(m-j)}{m}$. При этом $m-j$ пробегают все чётные числа из отрезка $\left[\frac{m+1}{2},m-1\right]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.06.2023, 23:11 


03/06/12
2862
RIP в сообщении #1596707 писал(а):
Во втором множестве нужно просто заменить все $\sin\frac{\pi j}{m}$ с нечётными $j$ на $\sin\frac{\pi(m-j)}{m}$. При этом $m-j$ пробегают все чётные числа из отрезка $\left[\frac{m+1}{2},m-1\right]$.

Да, точно. можно и так. Так лучше. Спасибо.

-- 06.06.2023, 00:14 --

мат-ламер в сообщении #1596687 писал(а):
И мне кажется, что там есть мелкая неточность в ответе, которая вас не должна смущать.

Заинтриговали).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.06.2023, 00:45 


03/06/12
2862
мат-ламер в сообщении #1596687 писал(а):
Если с этой задачей будут трудности, то в оффтопе небольшая подсказка:

Спасибо, но сначала попробую выписать то, до чего дошел сам, ибо заглянуть под оффтоп я всегда успею. Правда, что делать с накопанным дальше, я пока не знаю, но я все равно выпишу, может, в процессе и появится какая идея дальше.

(Оффтоп)

Итак, для начала возьму уравнение $x^{n}+x^{m}-1=0$. По условию задачи $x$ можно представить в следующем виде: $x=\cos\varphi+i\sin\varphi$. Тогда взятое уравнение переписывается в следующем виде: $(\cos n\varphi+\cos m\varphi)+i(\sin n\varphi+\sin m\varphi)=1$. Это равенство эквивалентно следующей системе уравнений: $\left\{ \begin{alignedat}{3}\cos n\varphi & + & \cos m\varphi & = & 1\\
\sin n\varphi & + & \sin m\varphi & = & 0
\end{alignedat}
\right.
 $. Второе уравнение этой системы дает: $\left|\cos n\varphi\right|=\left|\cos m\varphi\right|$. Случай $\cos n\varphi=-\cos m\varphi$ отпадает, т. к. в этом случае было бы $\cos n\varphi+\cos m\varphi =0$, что противоречит первому уравнению системы. Остается случай $\cos n\varphi=\cos m\varphi$. Тогда из первого уравнения системы получаю: $\cos n\varphi=\cos m\varphi=\dfrac{1}{2}$. Выпишу, например, такое решение последней системы: $\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{1}\\
m\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{2}
\end{alignedat}
\right.$. А вот что дальше делать с этим богатством? Вот вопрос на миллион. Ну, перепишу я его (решение) в виде $\left\{ \begin{alignedat}{2}n\varphi & = & (6k_{1}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}\\
m\varphi & = & (6k_{2}+1)\cdot\dfrac{\pi}{3}
\end{alignedat}
\right.$. И дальше пока все. Нужно подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.06.2023, 02:00 


03/06/12
2862

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1596728 писал(а):
Выпишу, например, такое решение последней системы: $\left\{\begin{alignedat}{2}n\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{1}
\\ m\varphi & = & \dfrac{\pi}{3}+2\pi k_{2}
\end{alignedat}\right.$.

, где $k_{1},\, k_{2}\in\mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 ... 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group