2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка модулей корней полинома третьей степени
Сообщение17.11.2008, 00:01 


16/11/08
4
Строю прогноз-коррекцию по милну, получил уравнение третьей степени для устойчивости. Надо как-то оценить модули корней. По кардано не получается, слишком сложно потом оценку сделать. Подскажите что-нибудь.
Если коротко, дан произвольный полином третьей степени. Задача - оценить модули его действительных корней, а точнее сравнить их с единицей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 09:52 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Переводите круг в полуплоскости и пользуетесь критерием Гурвица об устойчивости многочленов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 11:13 
Аватара пользователя


02/04/08
742
критерий Гурвица дает информацию о расположении действительных частей комплексных, вообще говоря, корней. В поставленной задаче надо оценивать лишь действительные корни, поэтому оценка на основе критерия Гурвица окажется заведомо грубой.

Однако с помощью производной (а это уже квадратный трехчлен) легко можно найти максимумы минимумы и промежутки возрастания убывания многочлена третьей степени, после этого вопрос о количестве его действительных корней и расположении их относительно отрезка [-1,1] решается тривиально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 11:27 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Непонятно, как действительные корни могут дать информацию об устойчивости.

Для подсчета действительных корней, расположенных на произвольном отрезке существует теорема Штурма...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 11:43 
Аватара пользователя


02/04/08
742
V.V. в сообщении #159093 писал(а):
Непонятно, как действительные корни могут дать информацию об устойчивости.

так пишет автор задачи
V.V. в сообщении #159093 писал(а):
Для подсчета действительных корней, расположенных на произвольном отрезке существует теорема Штурма...

угу

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 12:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
вообще-то раз речь об устойчивости и корни оцениваются именно по модулю, то скорее всего требуется оценка всё же всех корней, в т.ч. комплексных

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 15:09 


16/11/08
4
Цитата:
вообще-то раз речь об устойчивости и корни оцениваются именно по модулю, то скорее всего требуется оценка всё же всех корней, в т.ч. комплексных

Это вполне может быть и так... Я сам точно не знаю, просто это связано с разностными уравнениями, в кототрых я, если честно, ноль...
Всем, спасибо, теперь мыслей побольше.
Скорее всего надо записать дискриминант по Кардано, что даст эскиз графика, потом посмотреть с помощью производной. С Гурвицем не очень понятно, в Википедии говорят о диффернциальных уравнениях, а не полиномах...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 15:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Многочлен $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$ называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательную вещественную часть (предполагается, что коэффициенты многочлена вещественны и что $a_0>0$).

Критерий Рауса-Гурвица: многочлен устойчив тогда и только тогда, когда положительны все левые угловые миноры матрицы Гурвица:

$$\begin{pmatrix}
a_1 & a_3 & a_5 & \dots\\
a_0 & a_2 & a_4 & \dots\\
0 & a_1 & a_3 & \dots\\
0 & a_0 & a_2 & \dots\\
0 & 0 & a_1 & \dots\\
0 & 0 & a_0 & \dots\\
\dots & \dots & \dots & \dots
\end{pmatrix}$$

(размер матрицы $n\times n$; на диагонали стоят $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_n$; индексы по горизонтали идут с шагом 2; все коэффициенты с "некорректными" индексами, т.е. отсутствующие в многочлене, заменяются нулями). При $n=3$ имеем:

$$\begin{pmatrix}
a_1 & a_3 & 0\\
a_0 & a_2 & 0\\
0 & a_1 & a_3 
\end{pmatrix}$$

; необходимое и достаточное условие устойчивости: все коэффициенты строго положительны (это -- необходимое условие в любом случае) и, кроме того,

$$\left|\begin{matrix}
a_1 & a_3\\
a_0 & a_2
\end{matrix}\right|=a_1a_2-a_0a_3>0$$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group