Оценка модулей корней полинома третьей степени

[evilt]

Строю прогноз-коррекцию по милну, получил уравнение третьей степени для устойчивости. Надо как-то оценить модули корней. По кардано не получается, слишком сложно потом оценку сделать. Подскажите что-нибудь.
Если коротко, дан произвольный полином третьей степени. Задача - оценить модули его действительных корней, а точнее сравнить их с единицей.

[V.V.]

Переводите круг в полуплоскости и пользуетесь критерием Гурвица об устойчивости многочленов.

[zoo]

критерий Гурвица дает информацию о расположении действительных частей комплексных, вообще говоря, корней. В поставленной задаче надо оценивать лишь действительные корни, поэтому оценка на основе критерия Гурвица окажется заведомо грубой.

Однако с помощью производной (а это уже квадратный трехчлен) легко можно найти максимумы минимумы и промежутки возрастания убывания многочлена третьей степени, после этого вопрос о количестве его действительных корней и расположении их относительно отрезка [-1,1] решается тривиально.

[V.V.]

Непонятно, как действительные корни могут дать информацию об устойчивости.

Для подсчета действительных корней, расположенных на произвольном отрезке существует теорема Штурма...

[zoo]

V.V. в сообщении #159093 писал(а):

Непонятно, как действительные корни могут дать информацию об устойчивости.

так пишет автор задачи

V.V. в сообщении #159093 писал(а):

Для подсчета действительных корней, расположенных на произвольном отрезке существует теорема Штурма...

угу

[ewert]

вообще-то раз речь об устойчивости и корни оцениваются именно по модулю, то скорее всего требуется оценка всё же всех корней, в т.ч. комплексных

[evilt]

Цитата:

вообще-то раз речь об устойчивости и корни оцениваются именно по модулю, то скорее всего требуется оценка всё же всех корней, в т.ч. комплексных

Это вполне может быть и так... Я сам точно не знаю, просто это связано с разностными уравнениями, в кототрых я, если честно, ноль...
Всем, спасибо, теперь мыслей побольше.
Скорее всего надо записать дискриминант по Кардано, что даст эскиз графика, потом посмотреть с помощью производной. С Гурвицем не очень понятно, в Википедии говорят о диффернциальных уравнениях, а не полиномах...

[ewert]

Многочлен $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$ называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательную вещественную часть (предполагается, что коэффициенты многочлена вещественны и что $a_0>0$).

Критерий Рауса-Гурвица: многочлен устойчив тогда и только тогда, когда положительны все левые угловые миноры матрицы Гурвица:

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \dots\\ a_0 & a_2 & a_4 & \dots\\ 0 & a_1 & a_3 & \dots\\ 0 & a_0 & a_2 & \dots\\ 0 & 0 & a_1 & \dots\\ 0 & 0 & a_0 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$$

(размер матрицы $n\times n$; на диагонали стоят $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_n$; индексы по горизонтали идут с шагом 2; все коэффициенты с "некорректными" индексами, т.е. отсутствующие в многочлене, заменяются нулями). При $n=3$ имеем:

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 0\\ a_0 & a_2 & 0\\ 0 & a_1 & a_3 \end{pmatrix}$$

; необходимое и достаточное условие устойчивости: все коэффициенты строго положительны (это -- необходимое условие в любом случае) и, кроме того,

$$\left|\begin{matrix} a_1 & a_3\\ a_0 & a_2 \end{matrix}\right|=a_1a_2-a_0a_3>0$$

.