Логарифм матрицы

[Padawan]

Дана матрица $A=\begin{pmatrix}\cos(2\pi/3)&-\sin(2\pi/3)\\ \sin(2\pi/3)& \cos(2\pi/3)\end{pmatrix}$. Можно ли как-то по быстрому доказать, что если вещественная матрица $M$ удовлетворяет условию $e^M=A$, то $M=\begin{pmatrix}0&-2\pi/3-2\pi k\\2\pi/3+2\pi k&0\end{pmatrix}$, где $k\in\mathbb Z$. Я доказал, рассуждения несложные, но длинные, почти на страницу текста. Есть ли общий способ быстро записать все логарифмы данной матрицы? вещественные логарифмы вещественной матрицы?

[zykov]

Привести $A$ к диагональному виду?

[Padawan]

Да, я приводил и $A$ и $M$, там потом некоторая возня. Распишите, пожалуйста, может быть у Вас проще получится.

[svv]

Может, можно опереться на то, что матрицы такого вида складываются и умножаются, как соответствующие комплексные числа. А именно, для $z\in\mathbb C$ определим
$C(z)=\begin{bmatrix}\operatorname{Re}z&-\operatorname{Im}z\\\operatorname{Im}z&\phantom{+}\operatorname{Re}z\end{bmatrix}$
Тогда
$\begin{array}{l}C(z_1+z_2)=C(z_1)+C(z_2) \\ C(z_1z_2)=C(z_1)C(z_2) \\ C(az)=aC(z),\quad a\in\mathbb R\end{array}$
Применить это к матричному ряду для экспоненты.

[Padawan]

svv
С тем, что $\exp\begin{pmatrix}0&-2\pi/3-2\pi k\\2\pi/3+2\pi k&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(2\pi/3)&-\sin(2\pi/3)\\ \sin(2\pi/3)&\cos(2\pi/3)\end{pmatrix}$ проблем нет. Проблема в том, чтобы доказать, что других вещественных логарифмов нет. Или я Вас не понял?

[svv]

Да, Вы правы, если другие логарифмы существуют, они могут и не иметь такого вида.

[zykov]

Так то известно, что матрица $R(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi)& \cos(\varphi)\end{pmatrix}$ - это матрица поворота.
И что $R(\varphi)=e^{P\varphi}$, где $P=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1& 0\end{pmatrix}$.

Или дело в каких-то формальных тонкостях?

[Padawan]

zykov
Вопрос в том, все ли это логарифмы, вдруг еще вещественные матрицы другого вида есть, такие что $e^M=R(\varphi)$.

[zykov]

Группа поворотов на плоскости изоморфна группе умножений ортонормированных действительных матриц 2x2 и группе сложений углов (действительное число "по подулю $2\pi$").
Среди таких матриц логарифм точно единственный.
Может какая другая матрица даст такое же значение.
Но вряд ли. Можно экспоненту через ряд Тэйлора расписать.

[Padawan]

zykov в сообщении #1594843 писал(а):

ортонормированных действительных матриц 2x2

ортогональных? Плюс еще определитель=1.

zykov в сообщении #1594843 писал(а):

Среди таких матриц логарифм точно единственный.

Среди каких? Мы берем логарифм матрицы поворота. Среди каких матриц логарифм единственен?

-- Пн май 22, 2023 21:24:08 --

zykov в сообщении #1594843 писал(а):

Может какая другая матрица даст такое же значение.

Среди вещественных нет, я это доказал. Среди комплексных могут быть.

[zykov]

Padawan в сообщении #1594846 писал(а):

ортогональных? Плюс еще определитель=1.

Ортонормированных.
Два столбца - два единичных взаимноортогональных вектора.

Забыл, есть нюанс c ориентацией. Например отражение не будет поворотом.
Ещё такой вариант есть:
$M=\begin{pmatrix}0&4\pi/3-2\pi k\\-4\pi/3+2\pi k&0\end{pmatrix}$

[Padawan]

$4\pi/3=-2\pi/3+2\pi$, так что это то же самое (в моей формуле вместо $k$ поставить $k-1$).

[zykov]

Padawan
Да, это тоже самое.

[Geen]

А чему равна экспонента от матрицы отражения по одной оси?

[Padawan]

Geen
Наверное, Вы имеете ввиду наоборот, экспонетной какой матрицы является отражение. Вещественной - никакой. Потому что экспоненты вещественных матрицы имеют положительный определитель: если $A=e^M$, то $\det A=e^{\operatorname{tr} M}>0$ при $\operatorname{tr}M\in\mathbb R$.
($\operatorname{tr}$ - след матрицы)