Область целостности с единственным неприводимым

[mathematician123]

Пусть $D$ - область целостности, содержащая единственный неприводимый элемент $x$ (в том смысле, что любой другой неприводимый элемент получается умножением $x$ на обратимый). Пусть любой ненулевой элемент $D$ либо обратим, либо имеет вид $ux^n$, где $u$ обратимый, $n$ натуральное. Можно ли как-то классифицировать все такие кольца?

В таком виде вопрос кажется сложным. Я решил наложить дополнительное условие, что любая сумма вида $1 + 1 + \ldots + 1$ либо равна нулю, либо равна некоторому обратимому. С таким условием можно предложить следующую конструкцию. Пусть $D^{*}$ - область целостности. Рассмотрим множество дробей вида $\frac{f(x)}{g(x)}$, где $f, g \in D^{*}[x]$, $x$ не делит $g(x)$. Это множество удовлетворяет условию, так как $x$ - единственный неприводимый, а единицы - это дроби вида $\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$, где $x$ не делит $f_1(x), g_1(x)$. Обозначим построенный пример $A(D^{*})$.

Существуют ли другие такие кольца? Обозначим $U$ множество обратимых кольца $D$. Пусть кольцо $D^{*} \subset U$. Существование такого кольца следует, из условия, что любая сумма вида $1 + 1 + \ldots + 1$ либо равна нулю, либо равна некоторому обратимому. Тогда можно показать, что $A(D^{*})$ содержится в $D$. Но может получится и так, что в $D$ есть элементы, которых нет в $A(D^{*})$. Соответственно вопрос такой: всегда ли можно выбрать $D^{*}$ так, что $A(D^{*}) = D$?

[RIP]

Без условия на суммы $1+\dotsb+1$ такие кольца вроде называются кольцами дискретного нормирования.

Как минимум, ещё есть кольцо формальных степенных рядов $F[[x]]$ над некоторым полем $F$.

[mathematician123]

RIP в сообщении #1594522 писал(а):

Без условия на суммы $1+\dotsb+1$ такие кольца вроде называются кольцами дискретного нормирования
.

Как минимум, ещё есть кольцо формальных степенных рядов $F[[x]]$ над некоторым полем $F$.

Да, это то, что нужно, буду изучать. Этот пример можно обобщить. Если считать $F$ областью целостности и рассмотреть дроби $\frac{f(x)}{g(x)} $, где $f, g \in F[[x]]$, $g$ не делится на $x$. А если $F$ будет полем, то эта конструкция как раз будет изоморфна $F[[x]]$.

Ещё можно заметить, что во всех этих примерах кольцо содержит несчётное число элементов.

[RIP]

Можно ещё локализовать по другим неприводимым многочленам.

Например, пусть $S=\mathbb{Z}[T]\setminus(T^2+1)\mathbb{Z}[T]=\{f(T)\in\mathbb{Z}[T]\mid f(\mathrm{i})\ne0\}$, $D=S^{-1}\mathbb{Z}[T]=\left\{\frac{f(T)}{g(T)}\mid g(\mathrm{i})\ne0\right\}$ — кольцо дискретного нормирования с неприводимым элементом $x=T^2+1$. Тогда $U=\left\{\frac{f(T)}{g(T)}\mid f(\mathrm{i})g(\mathrm{i})\ne0\right\}$. Если $D^{*}\subseteq U\cup\{0\}$, то $D^{*}\subseteq\mathbb{Q}$, поэтому $A(D^{*})\subset\mathbb{Q}(x)$ и~$A(D^{*})\ne D$.

[RIP]

Кстати, $A(D^{*})$ зависит от выбора $x$, но в любом случае $T\in D\setminus A(D^{*})$, поскольку заведомо $x=0$ при $T=\pm\mathrm{i}$ (то есть $T$ — многозначная (алгебраическая) функция от $x$).

[mathematician123]

RIP в сообщении #1594537 писал(а):

Можно ещё локализовать
по другим неприводимым многочленам.

Хороший пример! Я придумал как продолжить анализ. Обозначить $x$ неприводимым элементом оказалось не очень удачным решением. Далее я буду обозначать его $p$.

1) Если $D^{*} \subset U \cup \{0\} $, то поле частных $D^{*}$ тоже лежит в $U \cup \{0\} $. Поэтому можно считать $D^{*}$ полем.

2) Предположим, найдётся такой обратимый $u \notin D^{*}$, что для любого $f \in D^{*}[x]$ из $p \mid f(u)$ следует $f(u) = 0$. Тогда множество $f(u)$ можно взять в качестве нового $D^{*}$.

3) Вот здесь не уверен, но вроде можно доказать, что такими расширениями можно получить $D^{*}$, которое нельзя расширить. То есть, для любого обратимого $u \notin D^{*}$ найдётся $f \in D^{*}[x]$, такой что $p \mid f(u) \neq 0$. Наверное доказывается это примерно как утверждение о существовании базиса любого линейного пространства. Ещё, может быть, различные способы расширения могут приводить к различным вариантам $D^{*}$. По крайней мере, доказать обратное я не могу.

4) Предположим, что в $U$ найдётся такая единица $u$, что $v = \frac{f(u)}{g(u)}$ для любого $v \in U$ и некоторых $f, g \in D^{*}[x]$. Из пункта 3) следует, что найдётся $k \in D^{*}[x]$, для которого $p \mid k(u) \ne 0$, причём $k$ можно считать неприводимым. Тогда $p \mid f(u) \iff k(x) \mid f(x)$. Тогда можно показать, что $D$ изоморфно множеству дробей вида $\frac{f(x)}{g(x)}$, где $f, g \in D^{*}[x] $, $k(x)$ не делит $g(x)$.

5) Существует ли счётное кольцо $D$, не изоморфное конструкции из пункта 4)? Изначально я думал, что колец с единственным неприводимым должно быть немного. А их, оказывается, очень много разных. Так что и здесь контрпример скорее всего есть. Например, каким-нибудь хитрым образом задействовать алгебраические числа.

[vpb]

Таких колец, конечно, очень много. Например, локальные кольца гладких точек на алгебраических кривых. (См. учебник Шафаревича, Основы алгебраической геометрии, т.1, главы 1,2,3; хотя есть, несомненно, книжки и попроще). Кривых, даже с точностью до изоморфизма (в алгебро-геометрическом смысле), или же бирационального изоморфизма, есть целые параметрические семейства сколь угодно большой размерности. (Ихние пространства параметров называются "пространства модулей кривых" ... о, это большая наука, в которой я не разбираюсь).

Примеры, которые Вы пока рассматривали, они, если я правильно понял, все относятся к такому типу: это подкольца $A\subseteq K(x)$, где $K$ --- некоторое поле. И притом поле частных для $A$ --- это само $K(x)$. А локальные кольца точек на кривых сюда не попадают, так как поле рациональных функций на кривой --- это, вообще говоря, не $K(x)$, а некоторое его конечное расширение.

Замечание об обозначениях: обычно через $R^\ast$, где $R$ --- кольцо, обозначается множество обратимых элементов в $R$.

Наконец, хотя я не специалист, но мне что-то кажется, что классификация колец дискретного нормирования в полной общности --- это нерешабельная задача, вроде классификации всех групп (могу ошибаться !). Но о них, несомненно, многое известно.

[Slav-27]

У меня тоже нет полного ответа, но есть несколько соображений.

1) Следующие 3 условия на коммутативное кольцо $A$ с единицей равносильны:
а) $A$ -- кольцо дискретного нормирования,
б) в $A$ есть единственный (с точностью до умножения на обратимые) неприводимый элемент и $A$ факториально,
в) в $A$ есть единственный (с точностью до умножения на обратимые) неприводимый элемент и $A$ -- область главных идеалов.

Пусть $R$ -- область главных идеалов (например, $\mathbb Z$, $\mathbb Q[t]$ или $\mathbb Z/p\,[t]$), $Q$ -- его поле частных, $(P)\subset R$ -- простой идеал. Тогда подкольцо $R_{(P)}+TQ[[T]]\subset Q[[T]]$, состоящее из рядов, у которых свободный член можно представить в виде $\frac ab$, $a,b\in R$, $b\not\in(P)$, имеет единственный неприводимый элемент $P$ с точностью до умножения на обратимые, но не является кольцом дискретного нормирования, потому что идеал $TR[[T]]$ не главный.

2) Условие на сумму единиц из 1-го поста равносильно тому, что $A$ есть алгебра над $\mathbb Q$ или над $\mathbb Z/p$.

3) Любое кольцо дискретного нормирования $A$ локально, то есть имеет единственный максимальный идеал $\mathfrak m$; будем обозначать поле вычетов $A/\mathfrak m=:k$. $A$ всегда можно пополнить относительно $\mathfrak m$-адической топологии и получить полное кольцо дискретного нормирования (в котором $A$ является подкольцом). Структурная теорема Коэна даёт некоторое описание всех таких колец. А именно, предположим, что $A$ -- полное кольцо дискретного нормирования.

• Если характеристики $A$ и $k$ равны (это так, если выполнено условие на сумму единиц из 1-го поста), то $A$ изоморфно $k[[T]]$.

Для любого поля $l$ характеристики $p$ есть единственное с точностью до изоморфизма полное кольцо дискретного нормирования $C(l)$ характеристики $0$ с полем вычетов $l$, такое что максимальный идеал $C(l)$ порождён $p$, -- называется кольцо Коэна поля $l$. Если $l$ совершенно, то в качестве кольца Коэна можно взять кольцо векторов Витта $W(l)$; например, $W(\mathbb Z/p)\simeq\mathbb Z_p$ -- $p$-адические числа. В общем случае любой $p$-базис поля $l$ над $\mathbb Z/p$ задаёт подкольцо в $W(l)$, являющееся кольцом Коэна поля $l$.

• Если характеристики $A$ и $k$ неравны, то есть $A$ имеет характеристику $0$, а $k$ -- характеристику $p$, то $A$ изоморфно $C(k)$ или $\dfrac{C(k)[T]}{(f)}$, где $f(T)=p+a_1T+...+a_{n-1}T^{n-1}+T^n$ ($n\geqslant 2$) -- многочлен Эйзенштейна, то есть $a_i\in (p)\subset C(k)$. И наоборот, любое такое кольцо -- полное кольцо дискретного нормирования характеристики $0$ c полем вычетов $k$.

Литература
Serre, Local fields. Ch. 2, § 4--5.
Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings. Theorem 17.
Schoeller, Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. 3.2.3.

[mathematician123]

vpb в сообщении #1594606 писал(а):

Наконец, хотя я не специалист, но мне что-то кажется, что классификация колец дискретного нормирования в полной общности --- это нерешабельная задача

Это я понял. А если ограничится только кольцами с счётным числом элементов? Я в начале второй главы Шафаревича нашёл определение кольца $O_x$. Оно определяется через некоторое множество функций. То есть, как понял, число его элементов несчётно.

[vpb]

mathematician123 в сообщении #1594627 писал(а):

То есть, как понял, число его элементов несчётно.

Вовсе нет. В первом томе Шафаревича всё происходит над произвольным алгебраически замкнутым полем, а не обязательно над комплексными числами. Например, над полем всех алгебраических чисел. А оно счетно. Следовательно, и все локальные кольца кривых в таком случае тоже счетны.

Еще отмечу, что полнота --- это очень сильное условие, поэтому и классификация возможна. Например, локальные кольца точек на кривых все очень разные, а пополнение у всех них одно и то же, а именно кольцо формальных степенных рядов.

Собственно говоря ... по-моему, убедиться в безнадежности можно так. Рассмотреть разные подкольца в кольце целых $p$-адических чисел, счетные, но плотные. Локализовать по простому идеалу $(p)$. И увидеть, насколько их много. Можете попробовать.

-- 21.05.2023, 15:31 --

Или рассмотреть примерно то же для кольца формальных степенных рядов, если хотим, чтобы поле вычетов вкладывалось в исходное кольцо.

[mathematician123]

Придумал как построить ещё примеры. Дальнейшие рассуждения опираются на одно правдоподобное утверждение про идеалы, доказательства которого я не знаю.

6) В первых трёх пунктах было доказано существование поля $D_{max} \subset U \cup \{0\}$, такого что его нельзя расширить, не выйдя при этом за пределы множества $U \cup \{0\}$. В общем случае, такое поле не единственно. Например, пусть $D$ состоит из дробей вида $\frac{f(x)}{g(x)}$, где $f, g \in \mathbb{Q}[x, y]$, $x + y$ не делит $g$. Тогда в качестве $D_{max}$ можно взять как $\mathbb{Q}(x)$, так и $\mathbb{Q}(y)$.

7) В пункте 4 был рассмотрен случай, когда все обратимые кольца выражаются через некоторый обратимый с помощью функции из $D_{max}(x)$. Естественный способ обобщить эту конструкцию --- предположить существование пары обратимых $u_1, u_2$, таких что любой другой обратимый выражается через них с помощью функции из $D_{max}(x, y)$. Рассмотрим множество $I$, состоящее из таких $f \in D_{max}[x, y]$, что $p \mid f(u_1, u_2)$. Тогда $I$ --- простой идеал. Тогда кольцо $D$ изоморфно множеству дробей вида $\frac{f(x, y)}{g(x, y)}$, где $f, g \in D_{max}[x, y]$ обладают тем свойством, что степень вхождения идеала $I$ в разложение идеала $<f(x, y)>$ не меньше чем степень вхождения $I$ в разложение $<g(x, y)>$.

8) Рассуждения в пункте 7 опираются на существование разложения на простые идеалы для многочленов двух переменных над некоторым полем. Верно ли, что такое разложение существует? Про разложение в произведение простых идеалов я узнал из статьи https://arxiv.org/abs/1711.10842. Всю статью не осилил, но кое-что запомнилось. Можно ещё рассмотреть многочлены от трёх, четырёх, пяти и т.д. переменных над некоторым полем. Будет ли для них существовать разложение на простые идеалы? Если да, то можно построить огромное количество новых примеров колец дискретного нормирования.

-- 22.05.2023, 12:37 --

mathematician123 в сообщении #1594721 писал(а):

Тогда кольцо $D$ изоморфно множеству дробей вида $\frac{f(x, y)}{g(x, y)}$, где $f, g \in D_{max}[x, y]$ обладают тем свойством, что степень вхождения идеала $I$ в разложение идеала $<f(x, y)>$ не меньше чем степень вхождения $I$ в разложение $<g(x, y)>$.

Хотя нет. Бред написал. Наверное, правильно так: $f, g \in D_{max}[x, y]$ обладают тем свойством, что для любого натурального $k$, если $g \in I^k$ (здесь имеется ввиду произведение идеалов), то и $f \in I^k$.