Можно ли вложить отображение в однопараметрическую группу?

[DLL]

Допустим, есть некоторое обратимое отображение на плоскости $u = F(x,y), t = G(x,y)$.
Можно ли его вложить в некоторую однопараметрическую группу?
По логике если мы умеем извлекать степени (например, посчитать квадратный корень отображения), то можем построить искомую группу.
Вопрос, когда это технически возможно? Какие условия нужно наложить на функции $F(x,y), G(x,y)$?

[dsge]

DLL в сообщении #1256566 писал(а):

Можно ли его вложить в некоторую однопараметрическую группу?

Здесь вначале об этом что-то говорится (первые 20-30 мин.).
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=8094

[DeBill]

DLL
Вопрос довольно сложный, и зависит от....
Можно рассматривать задачу в глобальной (на всей плоскости, или в заданной области, или на торе/цилиндре), локальной (в - нефиксированнной -окрестности неподвижной точки) или полулокальной (в окрестности инвариантной кривой для отображения) постановке, и при различных требованиях гладкости (конечно или бесконечно-гладкая, аналитическая, топологическая), вещественной и комплексной версиях.
В топологической : заведомо надо сохранение ориентации . Наложим его.
В локальной задаче тогда, вроде, можно.
В глобальной: может помешать хаос - см ссылку dsge(дискретные ДС могут быть хаотичны, непрерывные на плоскости - нет).
В аналитической локальной: как правило, можно. Но есть и неприятности (в резонансных случаях, ответ, как правило, нет).
В глобальной: при отсутствии неподвижных точек, вроде, можно (есть даже теорема под названием "flow box theorem for diffeo "; я, правда, в ее доказательстве нашел ошибку. Неустранимую, однако...)
Полулокальная задача -практически не изучена.....
Вааще, вопрос шибко обширный...

[DLL]

dsge, DeBill: спасибо за ответы. В целом меня интересует локальная постановка (комплексный или вещественный случай для меня разницы нет). С гладкостью опять же можно накладывать любые условия.

[DeBill]

DLL
А, локальный случай как раз боле-мене изучен.
Ну, во-первых: в одномерном случае, несохранение ориентации (т.е., отрицательность производной в неподвижной точке) есть запрет на включаемость в поток.
В двумерном: если у отображения есть инвариантные подмногообразия (они- одномерны, и они - есть, коль мультипликаторы вещественны и гиперболичны (не равны по модулю 1)), то ограничения отображения на них должны быть хороши - в указанном выше одномерном смысле. Это означает: при наличии отрицательных собственных значений линейной части отображения в неподвижной точке ($= $ мультипликаторов) включаемости нет.
Если же такого запрета нет, то включаемость есть (по крайней мере, для гиперболических мультипликаторов, в гладкой категории).
Рецепт: приводим отображение к нормальной форме (см. Арнольд, Доп.главы...); а нормальные формы (с "хорошими мультипликаторами") все включаемы.
Поэтому задача решается, как только удается приведение к нормальной форме (что равносильно (почти), по теореме Стернберга, формальной приводимости, а она - есть)
Ну, и в аналитическом случае, все то же. Так что все проблемы спрятаны в возможность нормализации отображения.
Вот, и в двумерном резонансном случае, этот -последний - вопрос еще не полностью изучен

(Оффтоп)

(точнее, ответы я, в основном, знаю, но вот с публикациями пока туго: то я ленюсь, то Полина в декрет ушла, то я - опять ленюсь...)

[pogulyat_vyshel]

DLL в сообщении #1256566 писал(а):

Допустим, есть некоторое обратимое отображение на плоскости $u = F(x,y), t = G(x,y)$.
Можно ли его вложить в некоторую однопараметрическую группу?
По логике если мы умеем извлекать степени (например, посчитать квадратный корень отображения), то можем построить искомую группу.
Вопрос, когда это технически возможно? Какие условия нужно наложить на функции $F(x,y), G(x,y)$?

http://www.springer.com/us/book/9783642030277

[DLL]

Хорошо. Спасибо всем за ответы!
Еще такой вопрос: в тех случаях когда можно вложить в поток: насколько конструктивно это можно сделать?

[DeBill]

DLL
Пусть $v$- генератор группы, $\Phi =(F,G)$- наше от-е.
Тогда $\Phi'\cdot v =v\circ\Phi$
Из этого уравнения можно последовательно найти все нелинейные члены Тейлоровского разложения $v$ (а матрица $v'(0)$ линейной части - это просто логарифм матрицы линейной части $\Phi$ ). При остутствии резонансов, проблем на каждом шаге не будет. А сходимость полученного ряда, видимо, можно получить методом мажорант (для мультипликаторов из области Пуанкаре)....

[DLL]

DeBill: очень хорошо, спасибо!

[Padawan]

DLL в сообщении #1256856 писал(а):

В целом меня интересует локальная постановка (комплексный или вещественный случай для меня разницы нет). С гладкостью опять же можно накладывать любые условия.

Как раз сейчас занимаюсь этим вопросом. У меня получается, что если линейную часть можно вложить в однопараметрическую подгруппу (т.е. существует логарифм матрицы), то в классе формальных степенных рядов все отображение тоже можно вложить. Но полученный ряд может оказаться расходящимися и тогда в классе аналитических отображений вложить нельзя (как, например, отображение $(x, y)\mapsto (e^x\cos y-1, e^x\sin y) $ или в комплексном виде $z\mapsto e^z-1$ ). Можно ли в гладких или непрерывных -- не знаю, меня сейчас формальные ряды интересуют.

[пианист]

Этим вопросом занимался Валентин Фёдорович Зайцев.
Но вот что он опубликовал, и опубликовал ли вообще что-нибудь, увы, не могу сказать.
Есть смысл пробежаться по его работам про дискретные симметрии оду.

[DLL]

Спасибо! Я с ним общался один раз на конференции в Петербурге.
С сожалением обнаружил сейчас, что он умер в 2018. Светлая память!

[пианист]

Увы, да. В один год с Ибрагимовым.
Еще помню (смутно), ВФ говорил, что дискретные симметрии как-то увязаны с уравнениями с запаздыванием.

[Padawan]

Padawan в сообщении #1593716 писал(а):

У меня получается, что если линейную часть можно вложить в однопараметрическую подгруппу (т.е. существует логарифм матрицы), то в классе формальных степенных рядов все отображение тоже можно вложить.

Наврал я. Отображение $f=\begin{pmatrix}\cos(2\pi/3)x-\sin(2\pi/3)y+x^2\\\sin(2\pi/3)x+\cos(2\pi/3)y\end{pmatrix}$ не вкладывается даже с точностью до $o(\rho^2)$. То есть даже коэффициенты квадратичных членов не удается подобрать, так чтобы для семейства отображений

$$ \varphi(t)=\begin{pmatrix}a_{10}(t)x+a_{01}(t)y+a_{20}(t)x^2+a_{11}(t)xy+a_{02}(t)y^2+\ldots\\b_{10}(t)x+b_{01}(t)y+b_{20}(t)x^2+b_{11}(t)xy+b_{02}(t)y^2+\ldots\end{pmatrix}$ $$

равенство $\varphi(t+s)=\varphi(t)\circ\varphi(s)$ выполнялось с точностью до $o(\rho^2)$ при любых $t,s$, и чтобы $\varphi(0)=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $\varphi(1)=f$.

Для того, чтобы можно было вложить с точностью до $o(\rho^2)$ достаточно, чтобы линейная часть исходного отображения представлялась в виде $e^A$, где собственные значения матрицы $A$ удовлетворяют условию $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_1-2\lambda_2,\lambda_2-2\lambda_1\not\in 2\pi i\mathbb Z\setminus\{0\}$ (если $\lambda_1=\lambda_2$, то остается одно условие $\lambda\not\in 2\pi i\mathbb Z\setminus \{0\}$). Чтобы вложить с точностью до $o(\rho^3)$ надо еще дополнительно потребовать $\lambda_1-3\lambda_2, \lambda_2-3\lambda_1, \lambda_1+\lambda_2, 2\lambda_1,2\lambda_2\not\in 2\pi i\mathbb Z\setminus \{0\}$. Это достаточные условия, не знаю необходимые или нет.

[пианист]

Еще одна ссылка попалась, вроде бы на ту же тему.
С ходу нагуглить статью не удалось, так что, если что, извиняюсь.
Статья F.Takens, Forced oscillations and bifurcations, Global Analysis of Dynamical Systems, Bristol: Inst. Phys., 2001.