Действие в теории относительности

[ivantozavrus]

Помогите, пожалуйста, разобраться, почему действие для свободной частицы в искривленном пространстве-времени определяется как

$$I = -mc\int^{s_B}_{s_A} \sqrt{g_{mn} \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}} ds.$$

Под корнем находится тождественная единица. Получается, что в данном случае лагранжиан частицы тождественно равен $-mc.$ Дальше мы варьируем действие для получения уравнения движения свободной частицы - это уравнение геодезической. Константа при получении уравнений Эйлера-Лагранжа все равно уходит, так что можно заменить её на единицу. То есть варьировать

$$I = \int^{s_B}_{s_A} ds.$$

Но тогда мы ищем вариацию от $s_B-s_A$ - разности значений длины кривой в точках А и В?
Я понимаю, что это, возможно, глупый вопрос. Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан, не являющийся тождественно константой, случай свободной частицы в теории относительности как-то смущает: происходит варьирование константы. Как всё это следует понимать?

[Alex-Yu]

ivantozavrus в сообщении #1594477 писал(а):

Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан,

Лагранжиан появится тогда, когда вы перейдете от интегрирования по $ds$ к интегрированию по $dt$. А пока интегрирование по $ds$, ни о каком лагранжиане речь не идет. Может показаться, что тогда лагранжиан будет полной производной $ds/dt$, но это иллюзия, это не полная производная от какой-то функции координат и времени. Нет такой функции, $s$ зависит не от координат и времени, а от траектории. Для разных траекторий (с одинаковыми концами) интеграл разный, что и говорит о том, что нет такой функции $s(x_i,t)$, дифференцированием которой можно было бы получить $ds/dt$. Собственно дело в том, что $dx_i$ -- это дифференциал положения частицы, а не просто произвольный дифференциал координат, ни от какой частицы (траектории) не зависящий.

[ivantozavrus]

Спасибо большое, стало понятнее, но все же закономерно возникает вопрос: а чем тогда следует считать отношение $\frac{ds}{dt},$ которое возникнет под интегралом. Правильно ли я понимаю, что, используя вариационный принцип, мы по сути и находим конкретную зависимость $s(t),$ которая будет удовлетворять условию экстремальности длины при фиксированных конечных значениях времени $t$?

[svv]

ivantozavrus в сообщении #1594545 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что, используя вариационный принцип, мы по сути и находим конкретную зависимость $s(t),$ которая будет удовлетворять условию экстремальности длины при фиксированных конечных значениях времени $t$?

Да.

Запись $\int\limits_{s_A}^{s_B} ds$ сбивает с толку — может показаться, что пределы интегрирования $s_A$ и $s_B$ заданы. Но разность $s_B-s_A$ определяется выбором кривой $\gamma_{AB}$, соединяющей $A$ и $B$. Вы можете, самое большее, задать $s$ в одной из точек, скажем, положить $s_A=0$. Тогда $s_B=\int\limits_{\gamma_{AB}} ds.$

Чтобы придать интегралу более привычный вид, перейдём к такой параметризации кривых, при которой параметр $\lambda$ будет функцией координат и при движении по времениподобной кривой от $A$ к $B$ будет монотонно возрастать. Можно взять подходящую систему координат и считать $\lambda=x^0$. Можно ввести семейство пространственноподобных гиперповерхностей, зависящих от параметра $\lambda$. Интеграл примет вид
$\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \dfrac{ds}{d\lambda}d\lambda=\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{mn}\dfrac{dx^m}{d\lambda}\dfrac{dx^n}{d\lambda}}d\lambda$
Поскольку $\lambda$ есть функция координат, здесь пределы интегрирования уже фиксированы.

[ivantozavrus]

Теперь понятно. Большое спасибо за разъяснение

[piksel]

Под вариацией I понимается

$$\partial I = -mc\int^{s_B}_{s_A}\left( \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}-\sqrt{g_{mn}(x) \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}\right)} ds $$

с вектором $\widetilde{x}=x+\partial x $.
Первый член подынтегрального выражения не обязательно равен 1, см., например, Мак-Витти, Общая теория относительности и космология.

[svv]

В последнем интеграле (в моём сообщении) мы варьируем зависимость $x(\lambda)$, которая задаёт кривую. Тут $x$ — точка пространства-времени с координатами $(x^m)$. Должны выполняться условия $x(\lambda_A)=A, x(\lambda_B)=B$. Метрика, то есть зависимость $g_{mn}(x)$, задана. Если подробнее записать последний интеграл, получится:
$\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{mn}(x(\lambda))\dfrac{dx^m(\lambda)}{d\lambda}\dfrac{dx^n(\lambda)}{d\lambda}}d\lambda$

[Slav-27]

ivantozavrus в сообщении #1594477 писал(а):

Но тогда мы ищем вариацию от $s_B-s_A$ - разности значений длины кривой в точках А и В?
Я понимаю, что это, возможно, глупый вопрос. Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан, не являющийся тождественно константой, случай свободной частицы в теории относительности как-то смущает: происходит варьирование константы. Как всё это следует понимать?

Лагранжиан не константа, а функция 8 независимых переменных $L(x,u)=-mc\langle u,u\rangle_x=-mcg_{ij}(x)u^iu^j$. Если задан путь $\gamma:[a,b]\to пространство-время, то можно вместо $x$ подставить $\gamma(\lambda)$ и вместо $u$ подставить $\dfrac{d\gamma}{d\lambda}(\lambda)$, получится функция 1 переменной $\lambda$. Эту функцию можно проинтегрировать по $\lambda$ от $a$ до $b$, получится действие пути $\gamma$.

Оно равно длине $\gamma$, то есть мы среди времениподобных кривых с началом и концом в 2 фиксированных событиях ищем кривые экстремальной длины.

[ivantozavrus]

piksel в сообщении #1594554 писал(а):

Под вариацией I понимается

$$\partial I = -mc\int^{s_B}_{s_A}\left( \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}-\sqrt{g_{mn}(x) \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}\right)} ds $$

с вектором $\widetilde{x}=x+\partial x $.
Первый член подынтегрального выражения не обязательно равен 1, см., например, Мак-Витти, Общая теория относительности и космология.

Разве в $ \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}$ не подразумевается просто некая другая кривая, вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1? Это ведь просто свойство параметризации через длину

-- 20.05.2023, 21:36 --

Slav-27 в сообщении #1594557 писал(а):

Лагранжиан не константа, а функция 8 независимых переменных

Это становится видно, как я уже понял, при записи действия через произвольный параметр. Если же просто написать $I = -mc\int^{s_B}_{s_A} ds,$ то это сбивает с толку

[Red_Herring]

ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):

при натуральной параметризации

Забудьте про натуральную параметризацию. Она вводится после того как кривая определена (выведена система ОДУ).

[Geen]

ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):

вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1?

А с чего вдруг у варьируемой кривой будет натуральная параметризация? - диапазон то изменения параметра ведь фиксирован.

[piksel]

ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):

Разве в $ \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}$ не подразумевается просто некая другая кривая, вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1? Это ведь просто свойство параметризации через длину

Параметр фиксируется, при нем однозначно обращается в 1 только одна кривая, экстремаль. Координаты варьируются. Если бы параметр менялся, как и координаты, обращая интервал в 1 (для материальной частицы), то в вариации не было бы смысла. Одна величина должна быть независима от вариации, чтобы было с чем сравнивать.

[ivantozavrus]

piksel в сообщении #1594563 писал(а):

Параметр фиксируется, при нем однозначно обращается в 1 только одна кривая, экстремаль. Координаты варьируются. Если бы параметр менялся, как и координаты, обращая интервал в 1 (для материальной частицы), то в вариации не было бы смысла. Одна величина должна быть независима от вариации, чтобы было с чем сравнивать.

Спасибо, именно это я и не понимал. Но все же параметризация через произвольный параметр более наглядна: задаем его граничные значения и ищем при таком условии экстремальное значение длины