Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан,
Лагранжиан появится тогда, когда вы перейдете от интегрирования по

к интегрированию по

. А пока интегрирование по

, ни о каком лагранжиане речь не идет. Может показаться, что тогда лагранжиан будет полной производной

, но это иллюзия, это не полная производная от какой-то функции координат и времени. Нет такой функции,

зависит не от координат и времени, а от траектории. Для разных траекторий (с одинаковыми концами) интеграл разный, что и говорит о том, что нет такой функции

, дифференцированием которой можно было бы получить

. Собственно дело в том, что

-- это дифференциал
положения частицы, а не просто произвольный дифференциал координат, ни от какой частицы (траектории) не зависящий.