2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Действие в теории относительности
Сообщение19.05.2023, 22:31 


11/05/23
18
Помогите, пожалуйста, разобраться, почему действие для свободной частицы в искривленном пространстве-времени определяется как
$$I = -mc\int^{s_B}_{s_A} \sqrt{g_{mn} \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}} ds.$$ Под корнем находится тождественная единица. Получается, что в данном случае лагранжиан частицы тождественно равен $-mc.$ Дальше мы варьируем действие для получения уравнения движения свободной частицы - это уравнение геодезической. Константа при получении уравнений Эйлера-Лагранжа все равно уходит, так что можно заменить её на единицу. То есть варьировать $$I = \int^{s_B}_{s_A} ds.$$ Но тогда мы ищем вариацию от $s_B-s_A$ - разности значений длины кривой в точках А и В?
Я понимаю, что это, возможно, глупый вопрос. Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан, не являющийся тождественно константой, случай свободной частицы в теории относительности как-то смущает: происходит варьирование константы. Как всё это следует понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 17:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
ivantozavrus в сообщении #1594477 писал(а):
Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан,


Лагранжиан появится тогда, когда вы перейдете от интегрирования по $ds$ к интегрированию по $dt$. А пока интегрирование по $ds$, ни о каком лагранжиане речь не идет. Может показаться, что тогда лагранжиан будет полной производной $ds/dt$, но это иллюзия, это не полная производная от какой-то функции координат и времени. Нет такой функции, $s$ зависит не от координат и времени, а от траектории. Для разных траекторий (с одинаковыми концами) интеграл разный, что и говорит о том, что нет такой функции $s(x_i,t)$, дифференцированием которой можно было бы получить $ds/dt$. Собственно дело в том, что $dx_i$ -- это дифференциал положения частицы, а не просто произвольный дифференциал координат, ни от какой частицы (траектории) не зависящий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 20:18 


11/05/23
18
Спасибо большое, стало понятнее, но все же закономерно возникает вопрос: а чем тогда следует считать отношение $\frac{ds}{dt},$ которое возникнет под интегралом. Правильно ли я понимаю, что, используя вариационный принцип, мы по сути и находим конкретную зависимость $s(t),$ которая будет удовлетворять условию экстремальности длины при фиксированных конечных значениях времени $t$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
ivantozavrus в сообщении #1594545 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что, используя вариационный принцип, мы по сути и находим конкретную зависимость $s(t),$ которая будет удовлетворять условию экстремальности длины при фиксированных конечных значениях времени $t$?
Да.

Запись $\int\limits_{s_A}^{s_B} ds$ сбивает с толку — может показаться, что пределы интегрирования $s_A$ и $s_B$ заданы. Но разность $s_B-s_A$ определяется выбором кривой $\gamma_{AB}$, соединяющей $A$ и $B$. Вы можете, самое большее, задать $s$ в одной из точек, скажем, положить $s_A=0$. Тогда $s_B=\int\limits_{\gamma_{AB}} ds.$

Чтобы придать интегралу более привычный вид, перейдём к такой параметризации кривых, при которой параметр $\lambda$ будет функцией координат и при движении по времениподобной кривой от $A$ к $B$ будет монотонно возрастать. Можно взять подходящую систему координат и считать $\lambda=x^0$. Можно ввести семейство пространственноподобных гиперповерхностей, зависящих от параметра $\lambda$. Интеграл примет вид
$\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \dfrac{ds}{d\lambda}d\lambda=\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{mn}\dfrac{dx^m}{d\lambda}\dfrac{dx^n}{d\lambda}}d\lambda$
Поскольку $\lambda$ есть функция координат, здесь пределы интегрирования уже фиксированы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 20:57 


11/05/23
18
Теперь понятно. Большое спасибо за разъяснение

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 21:04 


04/01/10
194
Под вариацией I понимается
$$\partial I = -mc\int^{s_B}_{s_A}\left( \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}-\sqrt{g_{mn}(x) \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}\right)} ds $$
с вектором $\widetilde{x}=x+\partial x $.
Первый член подынтегрального выражения не обязательно равен 1, см., например, Мак-Витти, Общая теория относительности и космология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
В последнем интеграле (в моём сообщении) мы варьируем зависимость $x(\lambda)$, которая задаёт кривую. Тут $x$ — точка пространства-времени с координатами $(x^m)$. Должны выполняться условия $x(\lambda_A)=A, x(\lambda_B)=B$. Метрика, то есть зависимость $g_{mn}(x)$, задана. Если подробнее записать последний интеграл, получится:
$\int\limits_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{g_{mn}(x(\lambda))\dfrac{dx^m(\lambda)}{d\lambda}\dfrac{dx^n(\lambda)}{d\lambda}}d\lambda$

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 21:13 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
ivantozavrus в сообщении #1594477 писал(а):
Но тогда мы ищем вариацию от $s_B-s_A$ - разности значений длины кривой в точках А и В?
Я понимаю, что это, возможно, глупый вопрос. Но в отличие от общего случая, когда варьируется лагранжиан, не являющийся тождественно константой, случай свободной частицы в теории относительности как-то смущает: происходит варьирование константы. Как всё это следует понимать?
Лагранжиан не константа, а функция 8 независимых переменных $L(x,u)=-mc\langle u,u\rangle_x=-mcg_{ij}(x)u^iu^j$. Если задан путь $\gamma:[a,b]\to пространство-время, то можно вместо $x$ подставить $\gamma(\lambda)$ и вместо $u$ подставить $\dfrac{d\gamma}{d\lambda}(\lambda)$, получится функция 1 переменной $\lambda$. Эту функцию можно проинтегрировать по $\lambda$ от $a$ до $b$, получится действие пути $\gamma$.

Оно равно длине $\gamma$, то есть мы среди времениподобных кривых с началом и концом в 2 фиксированных событиях ищем кривые экстремальной длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 21:31 


11/05/23
18
piksel в сообщении #1594554 писал(а):
Под вариацией I понимается
$$\partial I = -mc\int^{s_B}_{s_A}\left( \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}-\sqrt{g_{mn}(x) \frac{dx^m}{ds} \frac{dx^n}{ds}\right)} ds $$
с вектором $\widetilde{x}=x+\partial x $.
Первый член подынтегрального выражения не обязательно равен 1, см., например, Мак-Витти, Общая теория относительности и космология.


Разве в $ \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}$ не подразумевается просто некая другая кривая, вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1? Это ведь просто свойство параметризации через длину

-- 20.05.2023, 21:36 --

Slav-27 в сообщении #1594557 писал(а):
Лагранжиан не константа, а функция 8 независимых переменных

Это становится видно, как я уже понял, при записи действия через произвольный параметр. Если же просто написать $I = -mc\int^{s_B}_{s_A} ds,$ то это сбивает с толку

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11312
Hogtown
ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):
при натуральной параметризации
Забудьте про натуральную параметризацию. Она вводится после того как кривая определена (выведена система ОДУ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):
вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1?

А с чего вдруг у варьируемой кривой будет натуральная параметризация? - диапазон то изменения параметра ведь фиксирован.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 22:39 


04/01/10
194
ivantozavrus в сообщении #1594559 писал(а):

Разве в $ \sqrt{g_{mn}(\widetilde{x}) \frac{d\widetilde{x}^m}{ds} \frac{d\widetilde{x}^n}{ds}}$ не подразумевается просто некая другая кривая, вектор скорости которой при натуральной параметризации равен все так же 1? Это ведь просто свойство параметризации через длину

Параметр фиксируется, при нем однозначно обращается в 1 только одна кривая, экстремаль. Координаты варьируются. Если бы параметр менялся, как и координаты, обращая интервал в 1 (для материальной частицы), то в вариации не было бы смысла. Одна величина должна быть независима от вариации, чтобы было с чем сравнивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в теории относительности
Сообщение20.05.2023, 22:54 


11/05/23
18
piksel в сообщении #1594563 писал(а):
Параметр фиксируется, при нем однозначно обращается в 1 только одна кривая, экстремаль. Координаты варьируются. Если бы параметр менялся, как и координаты, обращая интервал в 1 (для материальной частицы), то в вариации не было бы смысла. Одна величина должна быть независима от вариации, чтобы было с чем сравнивать.


Спасибо, именно это я и не понимал. Но все же параметризация через произвольный параметр более наглядна: задаем его граничные значения и ищем при таком условии экстремальное значение длины

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group