Вопрос 1.
Можно ли доказывать постоянства длины 4-вектора следующим образом?
Да.
Вопрос 2.
Можно ли считать квадрат длины 4-вектора
вещественным числом?
Или это не число, а скалярное поле (функция) зависящая от координаты?
Если не число, то почему же это поле не меняется вдоль кривой?
В случае индефинитной метрики "квадрат длины" — это условность, хотя понятно, о чём речь. Кстати, часто длиной вектора
считают
. Фактически, тогда получаются два разных понятия длины — для пространственноподобных векторов и для времениподобных.
Если вектор
задан только в одной точке, тогда и квадрат его длины определен только в этой точке. Если вектор
задан в каждой точке некоторой области либо кривой, тогда это векторное поле, а квадрат длины
будет скалярным полем. Лишь в частном случае поле
на кривой задаётся параллельным переносом вдоль кривой вектора, заданного в одной её точке. Тогда квадрат длины
будет постоянным (при условии, что метрика согласована со связностью) — но это всё равно скалярное поле. Скалярное поле, постоянное вдоль кривой.
Дубровин Новиков Фоменко (1986 стр. 262 или 1998 стр.217): Определение 2. Параллельным переносом вектора
из точки Р в точку Q вдоль кривой
, где
, ведущей из Р в Q, называется векторное поле
, заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой:
Тут ещё такие обозначения применяются. Пусть
с компонентами
— касательный вектор в точке
, тогда можно записать (1) в виде
.
Очень часто вместо
пишут
. Более того, такое обозначение (или даже понятие) в каком-то смысле является первичным: ковариантная производная векторного поля
в такой-то точке по направлению вектора
. С этой точки зрения
— всего лишь краткое обозначение для (возьмите лупу!)
, где
— базисный вектор. Совсем избавляясь от индексов, перепишем (1) в виде