Вычет в 0 от exp(1/z)

[FeelUs]

Помогите найти $\mathop{\mathrm{Res}}_0 exp(1/z)$

Wolfram alpha не может, точка существенно особая. Или как в ряд Лорана в 0 разложить?

Правомерно ли раскладывать как обычную экспоненту $exp(1/z) = 1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\frac1{3!z^3}+...$

[zykov]

FeelUs в сообщении #1593616 писал(а):

Или как в ряд Лорана в 0 разложить?

Взять ряд Тэйлора для экспоненты (он сходится везде).

[FeelUs]

zykov в сообщении #1593620 писал(а):

FeelUs в сообщении #1593616 писал(а):

Или как в ряд Лорана в 0 разложить?

Взять ряд Тэйлора для экспоненты (он сходится везде).

Прям вообще везде? И в 0 и в бесконечности?

А, мне же нужен ряд Лорана. Достаточно, чтобы он сходился в кольце.

[zykov]

FeelUs в сообщении #1593622 писал(а):

Прям вообще везде?

Для экспоненты сходится во всех конечных точках включая ноль.

$${e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots$$

В бесконечности конечно не сходится.

[Kuga]

FeelUs в сообщении #1593622 писал(а):

А, мне же нужен ряд Лорана. Достаточно, чтобы он сходился в кольце.

Ну вот ряд Лорана $exp(1/z) = 1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\frac1{3!z^3}+...$ сходится в кольце $0<|z|<\infty$.

[zykov]

$\leq \infty$

[FeelUs]

Т.е. получается вычет равен 1. Как-то странно, что вольфрам альфа не считает

[zykov]

Можно по определению проверить

$${{{ \operatorname{Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{{|z-a|=\rho }}\!f(z)\,dz$$

для экспоненты интеграл должен легко считаться.

[FeelUs]

А если функция голоморфная, а особая точка изолированная, то можно и не делать $\lim_{\rho \to 0}$

А ещё я заметил, что вольфрам альфа вообще отказывается считать вычеты в бесконечности, и поэтому придумал формулу $res_{\infty}f(z)=-res_0 \frac{f(1/\zeta)}{\zeta^2}$

[мат-ламер]

FeelUs в сообщении #1594212 писал(а):

и поэтому придумал формулу $res_{\infty}f(z)=-res_0 \frac{f(1/\zeta)}{\zeta^2}$

И что эта формула даёт для нашей функции?