2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 12:59 
Помогите найти $\mathop{\mathrm{Res}}_0 exp(1/z)$

Wolfram alpha не может, точка существенно особая. Или как в ряд Лорана в 0 разложить?

Правомерно ли раскладывать как обычную экспоненту $exp(1/z) = 1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\frac1{3!z^3}+...$

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 13:03 
FeelUs в сообщении #1593616 писал(а):
Или как в ряд Лорана в 0 разложить?
Взять ряд Тэйлора для экспоненты (он сходится везде).

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 13:07 
zykov в сообщении #1593620 писал(а):
FeelUs в сообщении #1593616 писал(а):
Или как в ряд Лорана в 0 разложить?
Взять ряд Тэйлора для экспоненты (он сходится везде).

Прям вообще везде? И в 0 и в бесконечности?

А, мне же нужен ряд Лорана. Достаточно, чтобы он сходился в кольце.

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 13:15 
FeelUs в сообщении #1593622 писал(а):
Прям вообще везде?
Для экспоненты сходится во всех конечных точках включая ноль.$${e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots$$В бесконечности конечно не сходится.

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 13:32 
FeelUs в сообщении #1593622 писал(а):
А, мне же нужен ряд Лорана. Достаточно, чтобы он сходился в кольце.


Ну вот ряд Лорана $exp(1/z) = 1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\frac1{3!z^3}+...$ сходится в кольце $0<|z|<\infty$.

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 13:37 
$\leq \infty$

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 14:01 
Т.е. получается вычет равен 1. Как-то странно, что вольфрам альфа не считает

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение12.05.2023, 14:06 
Можно по определению проверить$${{{  \operatorname{Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{{|z-a|=\rho }}\!f(z)\,dz$$для экспоненты интеграл должен легко считаться.

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение17.05.2023, 13:12 
А если функция голоморфная, а особая точка изолированная, то можно и не делать $\lim_{\rho \to 0}$

А ещё я заметил, что вольфрам альфа вообще отказывается считать вычеты в бесконечности, и поэтому придумал формулу $res_{\infty}f(z)=-res_0 \frac{f(1/\zeta)}{\zeta^2}$

 
 
 
 Re: Вычет в 0 от exp(1/z)
Сообщение17.05.2023, 18:23 
Аватара пользователя
FeelUs в сообщении #1594212 писал(а):
и поэтому придумал формулу $res_{\infty}f(z)=-res_0 \frac{f(1/\zeta)}{\zeta^2}$

И что эта формула даёт для нашей функции?

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group