Найти область сходимости

[UmpaLumpik]

Найти область сходимости для интеграла:

$$\int\limits_{0}^{1}{{x (\ln^q(1/x))}}dx$$

Мой ход рассуждения: я воспользовался заменой $x = e^{-t}, dx = -t e^{-t}dt$. В итоге интеграл принял вид:

$$\int\limits_{0}^{+\infty}{ \frac{t^q}{e^{2t}}}dt$$

Разбил на три случая: $q = 0 $ - вычислил ручками, интеграл сходится; $q < 0$ и $q > 0$
Разбил интеграл на два:

$$\int\limits_{0}^{1}{ \frac{t^q}{e^{2t}}}dt + \int\limits_{1}^{+\infty}{ \frac{t^q}{e^{2t}}}dt$$

Есть ответ к этой задаче: $q > -1$ Но как его получить - не понимаю. Точнее, есть идея:
В случае $q > 0$ первый интеграл будет определённым, нужно как-то доказать, что второй интеграл сходится при $q > 0$
Во втором случае $q < 0$ первый интеграл будет несобственным второго рода, а второй интеграл будет несобственным интегралом первого рода.
Нужно доказать, что интегралы сходятся при $ -1< q < 0$, но расходятся при $q \leqslant - 1$
Тогда мы и увидим искомый ответ, но вот как эти сходимости/расходимости получить...
P.S. Гамма-функцию и именные интегралы лучше не предлагать

[UmpaLumpik]

Можно решение через гамма-функцию для интеграла

$$\int\limits_{0}^{+\infty}{ \frac{t^q}{e^{2t}}}dt$$

Или, если можете, предложите другой способ решения

-- 16.05.2023, 22:12 --

Сдался и решил через

$$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)$$

Ответ сошёлся. Но если у кого-то есть другое решение, то я буду рад его увидеть.

[Combat Zone]

А какие, собственно, сложности?
При положительном q -- оцениваем степенную функцию на бесконечности, мажорируя экспонентой с меньшим, чем в знаменателе, показателем. Признак сравнения.
При отрицательном q - теперь и ноль тоже особая точка, используем в ней другой признак сравнения, через эквивалентности.