Найти область сходимости для интеграла:

Мой ход рассуждения: я воспользовался заменой

. В итоге интеграл принял вид:

Разбил на три случая:

- вычислил ручками, интеграл сходится;

и

Разбил интеграл на два:

Есть ответ к этой задаче:

Но как его получить - не понимаю. Точнее, есть идея:
В случае

первый интеграл будет определённым, нужно как-то доказать, что второй интеграл сходится при

Во втором случае

первый интеграл будет несобственным второго рода, а второй интеграл будет несобственным интегралом первого рода.
Нужно доказать, что интегралы сходятся при

, но расходятся при

Тогда мы и увидим искомый ответ, но вот как эти сходимости/расходимости получить...
P.S. Гамма-функцию и именные интегралы лучше не предлагать