Инвариант квадратичной формы

[Gal]

Не знаете ли, где можно прочитать, о физическом смысле переменной $ t $ в квадратичной форме $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dxt + 2Eyt + Ft^2 = 0$.
Или она введена только для того, чтобы построить инвариант $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}c} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \\ \end{array}} \right|$?

[TOTAL]

Чем роль переменной $t$ отличается от роли переменных $x, y$?
Инвариант относительно чего?

[Gal]

Любого линейно-независимого преобразования.

[MGM]

TOTAL писал(а):

Чем роль переменной $t$ отличается от роли переменных $x, y$?
Инвариант относительно чего?

Дополнительный параметр коники, видимо.
Что-то забойное. Возможно инвариант коники, типа эллипс остаётся эллипсом внезависимости от t

[Алексей К.]

Переменная $t$ введена здесь, скорее всего, в рамках какой-то конкретной задачи. Учебной ли, исследовательской ли --- без подробностей ничего сказать нельзя.
На переводческих форумах почти всегда на просьбу перевести предложение требуют "дайте контексту побольше!" Очень похожая ситуация.

[TOTAL]

Gal писал(а):

Любого линейно-независимого преобразования.

Чего во что? Что такое линейно независимое преобразование?

[Gal]

При рассмотрении ортогональных инвариантов многочлена квадратичной формы (КФ) П.С. Александров [«Лекции по аналитической геометрии… 1968» Стр. 403-406] используют наряду с неоднородным преобразованием $\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x = c_{11} x' + c_{12} y' + c_1 } \\ {y = c_{21} x' + c_{22} y' + c_2 } \\ \end{array}} \right.$ трансформацию, переводящую «стандартную» КФ к виду, показанному в первом сообщении. При этом смысл параметра t не поясняется.

[mkot]

Насколько я понимаю, это просто некоторый трюк при доказательстве того, что $\Delta$ -- инвариант квадратичной формы. Он нужен для того чтобы перейти к квадратичной форме с количеством переменных на 1 больше, и применить ортогональное преобразование, переводящее $t$ в саму себя. Точно такой же подход применяется и в случае квадратичной формы от трёх переменных. И скорее всего (вроде ничто не мешает) применить его и в случае $n$ переменных.

Может, конечно, есть какой-то «физический смысл» в этом. Но он какой-то неуловимый. Воспринимаете это как некоторых хак, который позволяет сделать доказательство проще.

[TOTAL]

Gal писал(а):

Не знаете ли, где можно прочитать, о физическом смысле переменной $ t $ в квадратичной форме $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dxt + 2Eyt + Ft^2 = 0$.
Или она введена только для того, чтобы построить инвариант $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}c} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \\ \end{array}} \right|$?

Она введена только для того, чтобы показать, что это ортогональный инвариант многочлена
$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F$