Насколько я понимаю, это просто некоторый трюк при доказательстве того, что

-- инвариант квадратичной формы. Он нужен для того чтобы перейти к квадратичной форме с количеством переменных на 1 больше, и применить ортогональное преобразование, переводящее

в саму себя. Точно такой же подход применяется и в случае квадратичной формы от трёх переменных. И скорее всего (вроде ничто не мешает) применить его и в случае

переменных.
Может, конечно, есть какой-то «физический смысл» в этом. Но он какой-то неуловимый. Воспринимаете это как некоторых хак, который позволяет сделать доказательство проще.