Стандартное доказательство этого факта основано на переходе в систему координат, где поверхность задается в координатах

(например, ДНФ, параграф 24.1).
Но Пенской на семинарах по дифгему
https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/d ... oy-M-2.pdf (страницы 39-40 в этом пдф файле) доказывает это так:
Если поверхность задана уравнением,

(считаем, что поверхность задана только одним уравнением, т.е. рассматриваем гиперповерхность), то на этой поверхности

. Поэтому
![$$
[X,Y]F=X(YF)-Y(XF)=X(0)-Y(0)=0.
$$ $$
[X,Y]F=X(YF)-Y(XF)=X(0)-Y(0)=0.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/b/c2b4e387ba407eae038fdb76d9cbeb4a82.png)
Мне кажется, даже если это док-во и правильное, то надо обосновать, почему

. Конечно

на поверхности, но это не значит что

тождественно, или я чего-то не понимаю? Первая производная функции в точке может быть 0, но это не значит что и вторая производная тоже 0. Иначе зачем вообще во всех учебниках доказательство проводится с переходом в специальную систему координат, где поверхность

принимает вид

?
Аналогичное происходит например при док-ве теоремы 1 в параграфе 36 книги Дубровина, Новикова, Фоменко, но уже с ковариантыми производными. Там рассматривается ковариантная производная

, где

- касательный вектор к геодезической, и поэтому

. Но

не обязана быть равной 0. Далее там для

получается альтернативное выражение через тензор кривизны.
Вопрос: Корректно ли доказательство Пенского или некорректно? Почему?