Док-во, что коммутатор касательных векторов касательный вект

[Kuga]

Стандартное доказательство этого факта основано на переходе в систему координат, где поверхность задается в координатах $x^n=0$ (например, ДНФ, параграф 24.1).

Но Пенской на семинарах по дифгему https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/d ... oy-M-2.pdf (страницы 39-40 в этом пдф файле) доказывает это так:
Если поверхность задана уравнением, $F(x^1,...,x^n)=0$ (считаем, что поверхность задана только одним уравнением, т.е. рассматриваем гиперповерхность), то на этой поверхности $XF=YF=0$. Поэтому

$$ [X,Y]F=X(YF)-Y(XF)=X(0)-Y(0)=0. $$

Мне кажется, даже если это док-во и правильное, то надо обосновать, почему $X(YF)=0$. Конечно $YF=0$ на поверхности, но это не значит что $YF\equiv 0$ тождественно, или я чего-то не понимаю? Первая производная функции в точке может быть 0, но это не значит что и вторая производная тоже 0. Иначе зачем вообще во всех учебниках доказательство проводится с переходом в специальную систему координат, где поверхность $F(x^1,...,x^n)=0$ принимает вид $x^n=0$ ?

Аналогичное происходит например при док-ве теоремы 1 в параграфе 36 книги Дубровина, Новикова, Фоменко, но уже с ковариантыми производными. Там рассматривается ковариантная производная $\nabla_{\xi}\nabla_{\dot x}\dot{x}$, где $\dot{x}$ - касательный вектор к геодезической, и поэтому $\nabla_{\dot x}\dot{x}=0$. Но $\nabla_{\xi}\nabla_{\dot x}\dot{x}$ не обязана быть равной 0. Далее там для $\nabla_{\xi}\nabla_{\dot x}\dot{x}$ получается альтернативное выражение через тензор кривизны.

Вопрос: Корректно ли доказательство Пенского или некорректно? Почему?

[пианист]

Может, имелось в виду рассуждение типа $(F(x)=0 \to XF(x)=0) \to (XF=fF)$ для некоторой гладкой на $F(x)=0$ функции $f$?

[Slav-27]

Kuga в сообщении #1593602 писал(а):

надо обосновать, почему $X(YF)=0$. Конечно $YF=0$ на поверхности, но это не значит что $YF\equiv 0$ тождественно

Корректно, $X(YF)$ -- это производная $YF$ вдоль кривой, лежащей на поверхности, ограничение $YF$ на такую кривую ноль.

[Kuga]

А в чем отличие от случая с ковариантной производной?

Разве нельзя такой же аргумент применить? :
$\nabla_{\xi}(\nabla_{\dot x}\dot{x})$ -- это производная $\nabla_{\dot x}\dot{x}=0$ вдоль кривой, лежащей на поверхности, ограничение $\nabla_{\dot x}\dot{x}=0$ на такую кривую ноль. Поэтому $\nabla_{\xi}(\nabla_{\dot x}\dot{x})=0$.

[пианист]

Kuga в сообщении #1593602 писал(а):

Но $\nabla_{\xi}\nabla_{\dot x}\dot{x}$ не обязана быть равной 0.

Обязана. $\nabla_{\dot x}\dot{x}$ это просто ноль, без условий.

[Kuga]

пианист в сообщении #1593803 писал(а):

Обязана. $\nabla_{\dot x}\dot{x}$ это просто ноль, без условий.

$\nabla_{\xi}(\nabla_{\dot x}\dot{x})$ не ноль. смотрите теорему 1 в параграфе 36 книги Дубровина, Новикова, Фоменко, Современная геометрия, том 1

[Slav-27]

Kuga в сообщении #1593789 писал(а):

вдоль кривой, лежащей на поверхности, ограничение $\nabla_{\dot x}\dot{x}=0$ на такую кривую ноль.

Такого не известно, известно только, что $\nabla_{\dot x}\dot x=0$ на исходной геодезической (которая в книжке называется $\gamma$).

[пианист]

Kuga в сообщении #1593816 писал(а):

смотрите теорему 1

Там и $\nabla_{\dot{x}}{\dot{x}}$ не ноль, потому что градиент считается не по геодезической $\gamma$, а по проварьированной кривой $\gamma + \lambda \xi +\mu \eta$.

[Kuga]

пианист в сообщении #1593858 писал(а):

Kuga в сообщении #1593816 писал(а):

смотрите теорему 1

Там и $\nabla_{\dot{x}}{\dot{x}}$ не ноль, потому что градиент считается не по геодезической $\gamma$, а по проварьированной кривой $\gamma + \lambda \xi +\mu \eta$.

Нет, интеграл берется по геодезической.
Путем вариации, они нашли формулу для билинейной формы (второй вариации). А затем уже исследуют значение это билинейной формы на геодезической.

Это аналогично тому, чтобы вычислить матрицу вторых производных в общем виде, а затем найти его значение в точке экстремума.

[пианист]

Kuga
Ну, раз Вам все понятно, я, пожалуй, откланяюсь.
Извините, что вмешался. Успехов!

[Kuga]

Я не говорил, что мне все понятно.

Понятно следующее: $X(YF)=0$. Это следует из стандартного доказательства, которое приводится в учебниках.

Непонятно: доказательство Пенского.

Понятно: $\nabla_{\xi}\nabla_{\dot{x}}\dot{x}\neq 0$. Это можно увидеть из вычислений в параграфе 36 книги ДНФ.

Непонятно: В чем отличие этого случая от $X(YF)=0$?

Понятно, что тут разные производные, в одном случае обычная производная скаляра $YF$ вдоль другого касательного вектора, в другом ковариантная производная вдоль геодезической вектора равной нулю на этой геодезической. Но в обоих случаях берется производная дволь кривой величины равной нулю на этой кривой.

Как понять на пальцах различие между этими случаями, почему в одном случае 0, а в другом не 0?

[Slav-27]

Kuga в сообщении #1593865 писал(а):

Понятно следующее: $X(YF)=0$. Это следует из стандартного доказательства, которое приводится в учебниках.

Непонятно: доказательство Пенского.

Если $X\in T_pM$ -- касательный вектор, $f$ -- гладкая $\mathbb R$-значная функция около $p$, то $Xf=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}f(c(t))$, где $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ -- любая гладкая кривая с $c(0)=p, dc(0)\frac{\partial}{\partial t}=X$.

В данном случае, так как по условию $X$ касается поверхности $\{F=0\}$, то можно выбрать $c$ так, чтобы образ $c$ лежал в поверхности $\{F=0\}$. Так как $YF=0$ на поверхности $\{F=0\}$, то $X(YF)=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}(YF)(c(t))=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}0=0$.

В ситуации с ковариантной производной про ограничения функции на кривые с касательным вектором $\xi(t)$ ничего не известно, поэтому так рассудить нельзя.