Биномальное распределения для Сиракузской последовательности

[MGM]

Гипотеза.
Сиракузская последовательность определяется как:
$ {s_n}\left( {{q_0}} \right) = {q_n} = \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {3{q_{n - 1}} + 1}&{{q_{n - 1}} \equiv 1\bmod 2} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{q_{n - 1}}}}{2}}&{{q_{n - 1}} \equiv 0\bmod 2} \end{array} \end{array} \right.$

Число умножений на три определим, как: $ {m_n}\left( {{q_0}} \right) $, a число делений на 2 ${d_n}\left( {{q_0}} \right)$.
Гипотеза.
Пусть $q_0^j \in {Q_k} = \left\{ {{2^k} + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{b_i}{2^i}} } \right\} $.
(То есть старший бит всегда единица, а остальные перебираются произвольно)
И пусть для рассматриваемой выборки дано ограничение $ {s_r}\left( {q_0^j \in {Q_k}} \right) \in \left\{ {{d_r}\left( {q_0^j} \right) = k} \right\}$.
(Это означает, что мы останавлеваем последовательность начинающуюся с ${q_0^j}$ по достижении k делений и при этом фиксируя число умножений. )
Тогда статистика для для данной выборки числа умножений распределена биномально относительно k:
$\left( \begin{array}{l} k\\ {m_r}\left( {q_0^j} \right) = 0 \end{array} \right),\left( \begin{array}{l} k\\ {m_r}\left( {q_0^j} \right) = 1 \end{array} \right)...\left( \begin{array}{l} k\\ {m_r}\left( {q_0^j} \right) = k \end{array} \right)$

Очевидно что $j \in \left\{ {0,1,2,...,\left| {{Q_k}} \right| = {2^k}} \right\}$.
Гипотеза выполняется для достаточно больших k.
Как доказать – даже не представляю.
Заранее извиняюсь за корявую формулировку. Если есть желание, поправите с определениями.