Есть ещё одно понятие "нормы" на поле

; это понятие называется также "нормирование" и "абсолютное значение"; я буду использовать последний термин, потому что в отличие от двух других он, кажется, однозначен. Абсолютное значение -- это функция

, такая что для всех

1)

,
2)

,
3)

.
Например, модуль -- это единственное абсолютное значение на

.
Это уже очень похоже на определение нормы на векторном пространстве! В частности, если

-- расширение полей и на

задано абсолютное значение, то любое его продолжение до абсолютного значения на

будет "линейно-алгебраической" нормой на

, рассматриваемом как векторное пространство над

.
Имеется тесная связь между понятием нормы (как в 1-м посте, через детерминант) и абсолютного значения. А именно, пусть

-- конечное расширение полей степени

, на

задано абсолютное значение

и

относительно него полно (т. е. любая последовательность Коши сходится). Тогда

продолжается на

единственным образом: это продолжение определяется формулой
![$|x|=\sqrt[n]{|N_{K/k}(x)|}$ $|x|=\sqrt[n]{|N_{K/k}(x)|}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/e/39e88348b372fd693b3aa294602a0d2c82.png)
, где

-- норма, которая через детерминант. Например,

полно,

-- его расширение степени 2, поэтому единственное абсолютное значение на

, продолжающее модуль, -- это

.
Теперь предположим, что

-- конечные расширения,

-- абсолютное значение на

. Его продолжение на

, вообще говоря, не единственно. Обозначим

пополнение

по

;

-алгебра

единственным образом (с точностью до перестановки слагаемых и изоморфизмов) раскладывается в прямую сумму полей

;

-- это конечное расширение

некоторой степени

. Есть биекция {слагаемые

в этой сумме}

{продолжения

на

}: абсолютное значение

, соответствующее слагаемому

, -- это ограничение на

описанного выше единственного продолжения

с

на

. При этом

.
Например, рассмотрим квадратичное расширение
![$\mathbb Q[\sqrt m]=\dfrac{\mathbb Q[x]}{(x^2-m)}\supset\mathbb Q$ $\mathbb Q[\sqrt m]=\dfrac{\mathbb Q[x]}{(x^2-m)}\supset\mathbb Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/d/0bd71fdb1d3b09fb467255f6374a264282.png)
(где

-- рациональное число, не являющееся квадратом). Пополнение

относительно стандартного абсолютного значения -- это

,
![$\mathbb Q[\sqrt m]\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R=\dfrac{\mathbb R[x]}{(x^2-m)}$ $\mathbb Q[\sqrt m]\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R=\dfrac{\mathbb R[x]}{(x^2-m)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/0/ed0ee6e9b094895f8c21086a838f4aba82.png)
; если

, то это

, а если

, то это

. Соответственно, при

получаем 2 абсолютных значения, индуцированных с

:

(где

-- обычный модуль числа), а при

-- единственное абсолютное значение, индуцированное с

; в обоих случаях
![$|N_{\mathbb Q[\sqrt m]/\mathbb Q}(a+b\sqrt m)|=|a^2+mb^2|$ $|N_{\mathbb Q[\sqrt m]/\mathbb Q}(a+b\sqrt m)|=|a^2+mb^2|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40c522565159ab54a7c523003bf2d90682.png)
.