в. дер Варден Регулярная норма

[StepV]

Ван дер Варден параграф 47 (стр 167) для элемента поля его норма определена следующей формулой: $N(t)=D(tu_1,...,tu_n)$, где $D$- детерминант, $t$- элемент поля, $u_i$-элементы базиса.
Для примера берем поле $Q(\sqrt[3]{3})$, его элемент записывается в виде $t=a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$
Норма вычисляется по формуле для детерминанта: $D(t)={a_0}^3+3\cdot{a_1}^3+9\cdot{a_2}^3-9 \cdot a_0 \cdot a_1\cdot a_2$
По этой формуле видно, что определенная так норма числа может быть отрицательной. Например:
для числа $t=2-2\cdot\sqrt[3]{3}-2\cdot\sqrt[3]{3^2}$ норма равна $N(t)=-160$
По определению норма всегда больше нуля. Подскажите, пожалуйста, у меня неправильное понимание формул или для таких полей норму надо определять по другому? Например, использовать абсолютное значение нормы?

[RIP]

В математике существует несколько никак не связанных друг с другом понятий «норма». («Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.»)
Эта норма не имеет отношения к норме в нормированном пространстве. И да, она может принимать отрицательные значения.

[StepV]

RIP в сообщении #1593786 писал(а):

Эта норма не имеет отношения к норме в нормированном пространстве.

А зачем тогда вводить такую норму, которая противоречит определению нормы? Какая цель? Могу ли я считать, что у элементов этого поля стандартная норма $N(t)=\sqrt{{a_0}^2+{a_1}^2+{a_2}^2}$
Или норма для этого поля должна определяться по другим правилам?

[RIP]

StepV в сообщении #1593812 писал(а):

Могу ли я считать, что у элементов этого поля стандартная норма $N(t)=\sqrt{{a_0}^2+{a_1}^2+{a_2}^2}$
Или норма для этого поля должна определяться по другим правилам?

Что значит «стандартная норма»? Чего Вы от неё хотите?

Формула $N(t)=D(tu_1,...,tu_n)$ определяет норму алгебраического числа (точнее, норму элемента конечного расширения). Эта норма вообще никак не связана с понятием нормы (длины) вектора. Почему эти разные вещи называют одним и тем же словом «норма», я не знаю, но так сложилось исторически.

[mihaild]

Заметьте, что для произвольного поля говорить о положительности вообще нельзя. Да и квадратный корень извлекаться не обязан.

[StepV]

RIP в сообщении #1593814 писал(а):

Формула $N(t)=D(tu_1,...,tu_n)$ определяет норму алгебраического числа (точнее, норму элемента конечного расширения). Эта норма вообще никак не связана с понятием нормы (длины) вектора.

Спасибо! Это все прояснило!

[Slav-27]

Есть ещё одно понятие "нормы" на поле $k$; это понятие называется также "нормирование" и "абсолютное значение"; я буду использовать последний термин, потому что в отличие от двух других он, кажется, однозначен. Абсолютное значение -- это функция $|\cdot|:k\to\mathbb R_{\geqslant 0}$, такая что для всех $x,y\in k$
1) $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$,
2) $|xy|=|x||y|$,
3) $|x+y|\leqslant|x|+|y|$.
Например, модуль -- это единственное абсолютное значение на $\mathbb R$.
Это уже очень похоже на определение нормы на векторном пространстве! В частности, если $K\supset k$ -- расширение полей и на $k$ задано абсолютное значение, то любое его продолжение до абсолютного значения на $K$ будет "линейно-алгебраической" нормой на $K$, рассматриваемом как векторное пространство над $k$.

Имеется тесная связь между понятием нормы (как в 1-м посте, через детерминант) и абсолютного значения. А именно, пусть $K\supset k$ -- конечное расширение полей степени $n$, на $k$ задано абсолютное значение $|\cdot|$ и $k$ относительно него полно (т. е. любая последовательность Коши сходится). Тогда $|\cdot|$ продолжается на $K$ единственным образом: это продолжение определяется формулой $|x|=\sqrt[n]{|N_{K/k}(x)|}$, где $N_{K/k}(x)\in k$ -- норма, которая через детерминант. Например, $\mathbb R$ полно, $\mathbb C$ -- его расширение степени 2, поэтому единственное абсолютное значение на $\mathbb C$, продолжающее модуль, -- это $|z|=\sqrt{|N_{\mathbb C/\mathbb R}(z)|}=\sqrt{z\bar z}$.

Теперь предположим, что $K\supset k\supset\mathbb Q$ -- конечные расширения, $|\cdot|_v$ -- абсолютное значение на $k$. Его продолжение на $K$, вообще говоря, не единственно. Обозначим $k_v$ пополнение $k$ по $|\cdot|_v$; $k_v$-алгебра $K\otimes_kk_v$ единственным образом (с точностью до перестановки слагаемых и изоморфизмов) раскладывается в прямую сумму полей $\oplus_w K_w$; $K_w$ -- это конечное расширение $k_v$ некоторой степени $n_w$. Есть биекция {слагаемые $K_w$ в этой сумме} $\longleftrightarrow$ {продолжения $|\cdot|_v$ на $K$}: абсолютное значение $|\cdot|_w$, соответствующее слагаемому $K_w$, -- это ограничение на $K$ описанного выше единственного продолжения $|\cdot|_v$ с $k_v$ на $K_w$. При этом ${|N_{K/k}(x)|_v}=\prod\limits_w|x|_w^{n_w}$.

Например, рассмотрим квадратичное расширение $\mathbb Q[\sqrt m]=\dfrac{\mathbb Q[x]}{(x^2-m)}\supset\mathbb Q$ (где $m$ -- рациональное число, не являющееся квадратом). Пополнение $\mathbb Q$ относительно стандартного абсолютного значения -- это $\mathbb R$, $\mathbb Q[\sqrt m]\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R=\dfrac{\mathbb R[x]}{(x^2-m)}$; если $m>0$, то это $\mathbb R\oplus\mathbb R$, а если $m<0$, то это $\mathbb C$. Соответственно, при $m>0$ получаем 2 абсолютных значения, индуцированных с $\mathbb R$: $|a+b\sqrt{m}|_{\pm}=|a\pm b\sqrt{m}|$ (где $|\cdot|$ -- обычный модуль числа), а при $m<0$ -- единственное абсолютное значение, индуцированное с $\mathbb C$; в обоих случаях $|N_{\mathbb Q[\sqrt m]/\mathbb Q}(a+b\sqrt m)|=|a^2+mb^2|$.

[vpb]

RIP в сообщении #1593814 писал(а):

Эта норма вообще никак не связана с понятием нормы (длины) вектора. Почему эти разные вещи называют одним и тем же словом «норма», я не знаю, но так сложилось исторически.

Отчего же, корни проследить нетрудно. Для комплексных чисел, рассматриваемых как расширение ${\mathbb R}$, норма --- это произведение числа на сопряженное, т.е. квадрат длины (модуля). Т.е., с точностью до квадрата --- обычная евклидова. Квадрат же берется затем, чтобы, скажем, у целых гауссовых чисел, т.е. вида $a+bi$, где $a,b\in{\mathbb Z}$, норма всегда целая была (это удобно в разных вопросах). Ну а дальше перенесли эту конструкцию на произвольные расширения, причем так, чтобы у целых алгебраических чисел норма тоже целая была, и получилось то, что получилось. Только эта обобщенная норма может быть и отрицательной.

[RIP]

Slav-27 в сообщении #1593844 писал(а):

Например, модуль -- это единственное абсолютное значение на $\mathbb R$.

Почему же единственное (видимо, опечатка)? Можно взять $\lvert\cdot\rvert^{\alpha}$ при $\alpha\in(0,1)$ (правда, получится эквивалентное абсолютное значение). Любому вложению $\sigma\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ (таких полно нетривиальных) и числу $\alpha\in(0,1]$ соответствует абсолютное значение $\lVert x\rVert=\lvert\sigma(x)\rvert^{\alpha}$ (справа стоит обычный модуль комплексного числа). Так получаются все архимедовы абсолютные значения. А есть ещё куча неархимедовых: любую $p$-адическую норму можно продолжить с $\mathbb{Q}$ на $\mathbb{R}$.

[Slav-27]

RIP
Спасибо, вы правы! Мне не надо было писать "единственное". Можно даже тривиаьное абсолютное начение на $\mathbb Q$ (т. е. $|q|=1$ для всех $q\ne 1$) продолжить до нетривиального на $\mathbb R$. Я подозреваю, что абсолютных значений на $\mathbb R$ так много, что никакой разумной классификации не бывает.