Dims писал(а):
Вот, допустим, при взгляде сверху, гайка вертится по часовой стрелке. После переворота, она продолжит вращаться тоже по часовой стрелке или нет?
Да.
Dims писал(а):
Как вычисляется момент импульса гайки до и после переворота? Вектор угловой скорости переворачивается?
Относительно "неподвижного" пространства момент импульса остаётся постоянным, вектор угловой скорости, вообще говоря, не параллелен вектору момента импульса и движется, но когда гайка перевернётся и ось вращения станет близка к оси симметрии, вектор угловой скорости будет снова почти параллелен вектору момента - как и в начальном состоянии.
Dims писал(а):
Someone писал(а):
Джанибеков крутил гайку вокруг средней оси.
Это какая?
Как выяснилось, гайка устроена так: плоский диск с отверстием и резьбой посередине, перпендикулярно которому присоединены два ушка, лежащих в одной плоскости, так что вся гайка имеет ось симметрии второго порядка. Соотношение размеров таково, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно ушкам, является наибольшим, относительно оси симметрии - средним по величине, а относительно третьей оси, перпендикулярной двум предыдущим (она находится в плоскости ушек), - наименьшим.
Чтобы понять, почему гайка переворачивается, нужно разобраться, как движется вектор момента относительно тела. Выберем начало координат в центре масс гайки, оси координат направим по указанным в предыдущем абзаце осям (система координат, как обычно, правая). Эта система координат жёстко связана с телом и вращается вместе с ним. Обозначим
,
,
моменты инерции гайки относительно указанных осей,
,
,
- компоненты вектора момента импульса тела. Тогда движение вектора момента импульса в данной системе координат определяется уравнениями Эйлера:
Эта система уравнений имеет два первых интеграла:
Первый выражает закон сохранения энергии, второй - момента импульса.
Предположим далее, что
. Тогда уравнение (1) определяет эллипсоид с полуосями
, а уравнение (2) - сферу радиуса
. Конец вектора момента импульса
должен находиться на обеих поверхностях, поэтому при вращении тела он движется по линии пересечения этих поверхностей. Отсюда следует, что должны выпоняться неравенства
.
Если
, то пересечение состоит из двух точек - концов малой оси эллипсоида (1). Немного увеличив радиус сферы, получим в пересечении две малые овальные кривые вокруг концов малой оси. В системе координат, связанной с телом, вектор момента импульса вращается вокруг этой оси, двигаясь по одной из этих двух кривых; в "неподвижном" пространстве, с точки зрения внешнего наблюдателя, вектор момента импульса неподвижен, а вектор угловой скорости и малая ось эллипсоида инерции тела описывают узкие конусы вокруг вектора момента импульса (такое движение называется регулярной прецессией, а в теории гироскопа - нутацией: если ударить по концу оси раскрученного гироскопа, то ось начинает "дрожать", совершая малые колебания вокруг вектора момента импульса гироскопа, пока эти колебания не затухнут из-за трения). Поэтому, в частности, вращение вокруг малой оси эллипсоида инерции устойчиво (но не асимптотически).
По мере увеличения радиуса сферы
размеры этих кривых увеличиваются. Когда достигается равенство
, линии пересечения сферы и эллипсоида сливаются в две пересекающиеся окружности (они лежат в плоскостях
пересекающихся по средней оси эллипсоида (1)), разделяющие поверхность эллипсоида на четыре области, заполненные замкнутыми траекториями.
При дальнейшем увеличении
вновь образуются две траектории, стягивающиеся по мере увеличения
к концам большой оси эллипсоида (1). Устойчивость вращения вокруг большой оси показывается так же, как и для малой оси.
Теперь рассмотрим вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции. Предположим, что в начальный момент вращение происходит не вокруг этой оси, а вокруг очень близкой к ней. В этом случае компоненты момента импульса
следующие:
,
,
. Из уравнений Эйлера видим, что правые части этих уравнений в этом случае малы, и вектор момента относительно гайки движется очень медленно. Для "неподвижного" наблюдателя гайка выглядит спокойно вращающейся вокруг своей оси симметрии (отклонение "на глаз" может быть незаметным, тем более, что "барашек" мельтешит своими "ушками"). По мере удаления вектора
от средней оси компоненты
и
увеличиваются, и из уравнений Эйлера видим, что скорость движения вектора момента импульса возрастает. Наблюдатель увидит, что гайка начинает быстро поворачиваться и переворачивается. Далее вектор
попадает в окрестность другого конца средней оси эллипсоида (1) и резко замедляет своё движение, а наблюдатель видит, что гайка опять спокойно вращается, но в перевёрнутом состоянии. Затем весь процесс повторяется.
Хотел показать рисунок эллипсоида (1), расчерченного траекториями, но не нашёл. В книге Арнольда рисунок есть, но я поостерёгся бы назвать её "нормальным курсом механики". Она, мне кажется, явно не для студентов. А ничего другого более или менее существенного у меня нет.
Dims писал(а):
А откуда в невесомости возмущения?
Мало ли, что может быть источником возмущений. То, что сразу пришло мне в голову:
1) небольшая асимметрия в форме и распределении масс гайки;
2) трение в конце процесса "свинчивания" гайки;
3) аэродинамические эффекты при движении гайки в воздухе.
Добавлено спустя 18 минут 19 секунд:Zai писал(а):
Ввилу сложности запуска пластилинового шарика, автор по всей видимости облепил барашка пластилином, не изменив соотношения инерции и получил аналогичный результат.
Да, может быть, и слепил "шарик", и запустил его руками. Только точный шарик слепить невозможно, гарантированно получится тело с трёхосным эллипсоидом инерции. И за пластилиновым шариком, мне кажется, трудно наблюдать. Хотя в определённой части запусков он будет "кувыркаться" так же, как "барашек", а остальные случаи увлечённый "экспериментатор" спишет на неудачные запуски.
Шимпанзе писал(а):
Джанибеков не просто космонавт, он инженер, учился на физика и астронома, и его не могли заинтересовать детские забавы «кувырканья» гайки из детской книжки, которую нам здесь предложили для чтения.
Ну, чем он мог заинтересоваться - это его дело, тем более, что "кувырканье" гайки выглядит забавным и неожиданным. А что он не связал это с курсом механики, который наверняка изучал, так и Вы против моих объяснений протестуете, хотя и пишете
Шимпанзе писал(а):
но вот у нас на физфаке...
Хотя, конечно, это вовсе и не мои объяснения, я их просто пересказываю. Я же писал, что это нам в курсе механики объясняли.