Гравиполе куба вдоль диагонали

[mihail2102]

Geen в сообщении #1591977 писал(а):

Ну и найдём теперь напряжённость поля для куба с ребром $2R$ вдоль прямой, соединяющей центр куба с серединой ребра (вне куба).

$$\begin{aligned}f(r,R)&=\int_0^{\sqrt{2}R}f_\Box(r-z;R,\sqrt{2}R-z)dz+\int_{-\sqrt{2}R}^0f_\Box(r-z;R,\sqrt{2}R+z)dz\\&=4\int_0^{\sqrt{2}R}\arctg\left(\frac{R(\sqrt{2}R-z)}{(r-z)\sqrt{R^2+(\sqrt{2}R-z)^2+(r-z)^2}}\right)dz\\&+4\int_{-\sqrt{2}R}^0\arctg\left(\frac{R(\sqrt{2}R+z)}{(r-z)\sqrt{R^2+(\sqrt{2}R+z)^2+(r-z)^2}}\right)dz\end{aligned}$$

)

Предполагаю, что длина первообразной достаточная...От арктангенса ушел интегрируя по частям, от корня, переходом к новой переменной. Но объемы большие. Может есть что-то более эффективное?

-- 02.05.2023, 21:57 --

Найдем интеграл $I_{12}$
$I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln (\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)}dx$
Берем по частям:$u=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$

$dv=dx$

$$du=\frac{0.5 \ (4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}} \ $$

$ \ v=x$

$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}-\int\limits_{}^{}\frac{0.5 \ x(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}$$

Интеграл равен:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}+(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2} \ (1)$$

Это табличные интегралы Двайт 160.21 и 160.11 \ $a=2, \ b=2(R_{0}-\sqrt{2}R) ,\ c=(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$

$$\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

тогда интегральные выражения(1) будут иметь вид:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$2\left\lbrace\frac{x}{2}-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 \ 2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace + 0 \right\rbrace $$

$$+(R_{0}-\sqrt{2}R)\left\lbrace \frac{1}{2 \ 2}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2) $$

$$-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{4 \ 2 (R_{0}-\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 (R_{0}-\sqrt{2}R)} \right\rbrace $$

это равно:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R }{2}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$

$$-(R_{0}-\sqrt{2}R)\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

это равно:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

Запишем полностью $I_{12}$ :-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg \frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R} $$

[Geen]

Немного поборол лень...
Обозначим

$$\sqrt{2}RI_\pm=\int\arctg\left(\frac{R(\sqrt{2}R\pm z)}{(r-z)\sqrt{R^2+(\sqrt{2}R\pm z)^2+(r-z)^2}}\right)dz$$

"Ликвидируем" $R$ сделав замену $z=\sqrt{2}Rt$ и обозначив $k=r/\sqrt{2}R,\ L=k-t,\ T_\pm=1\pm t$:

$$I_\pm=\int\arctg\left(\frac{T_\pm}{L\sqrt{1+2L^2+2T_\pm^2}}\right)dt$$

$$\frac{d}{dt}\arctg\left(\frac{T_\pm}{L\sqrt{1+2L^2+2T_\pm^2}}\right)=\frac{L^2(1+2L^2+2T_\pm^2)}{(1+2L^2)(L^2+T_\pm^2)}=1-\frac{T_\pm^2}{(1+2L^2)(L^2+T_\pm^2)}$$

$$\begin{aligned}I_\pm&=t\arctg\left(\frac{T_\pm}{L\sqrt{1+2L^2+2T_\pm^2}}\right)-\frac{t^2}{2}\\&+\int\frac{tT_\pm^2}{(1+2L^2)(L^2+T_\pm^2)}dt\\&=K_\pm-\frac{t^2}{2}+J_\pm\end{aligned}$$

Заметим, что нам нужно вычислить $I_-(1)-I_-(0)+I_+(0)-I_+(-1)$. $K_\pm(0)=0,\ K_\pm(\mp1)=0,\ (-1)^2/2=(1)^2/2$. То есть, нам нужна только $J_\pm$.

$$\begin{aligned}8((k\pm1)^4+1)J_\pm&=\int\frac{8((k\pm1)^4+1)tT_\pm^2}{(1+2L^2)(L^2+T_\pm^2)}dt=\int\left(\frac{A(1+2L^2)'+4B}{1+2L^2}+\frac{C(L^2+T_\pm^2)'+D(k\pm1)}{L^2+T_\pm^2}\right)dt\\ &=A\ln(1+2L^2)-\sqrt{8}B\arctg(\sqrt{2}L)+C\ln(L^2+T_\pm^2)+D\arctg\frac{T_\pm}{L} \end{aligned}$$

Нам осталось только вычислить коэффициенты.
Это достаточно тривиальное занятие (коэффициент слева был подобран для упрощения), в результате которого можно получить такое

$$\begin{aligned} A&=2(k\pm1)^4-k^2+2\\ B&=2k^5\pm8k^4+13k^3\pm10k^2+5k\pm1\\ C&=-(k\pm1)^4+k^2-1\\ D&=-2(k\pm1)^2k^2 \end{aligned}$$

Напомним, что мы ищем $J_-(1)-J_-(0)+J_+(0)-J_+(-1)$ и что $T_-(1)=0,\ T_+(-1)=0,\ T_\pm(0)=1,\ L(1)=k-1,\ L(-1)=k+1,\ L(0)=k$
Т.е.

$$\begin{aligned}&f(r;R)=\frac{4\sqrt{2}R}{8((k-1)^4+1)}\big(\\ &+(2(k-1)^4-k^2+2)\ln(1+2(k-1)^2)\\&-\sqrt{8}(2k^5-8k^4+13k^3-10k^2+5k-1)\arctg(\sqrt{2}(k-1))\\&+(-(k-1)^4+k^2-1)\ln((k-1)^2)\\&+(-2(k-1)^2k^2)0\\ &-(2(k-1)^4-k^2+2)\ln(1+2k^2)\\&+\sqrt{8}(2k^5-8k^4+13k^3-10k^2+5k-1)\arctg(\sqrt{2}k)\\&-(-(k-1)^4+k^2-1)\ln(k^2+1)\\&-(-2(k-1)^2k^2)\arctg\frac{1}{k}\\ &\big)+\frac{4\sqrt{2}R}{8((k+1)^4+1)}\big(\\ &+(2(k+1)^4-k^2+2)\ln(1+2k^2)\\&-\sqrt{8}(2k^5+8k^4+13k^3+10k^2+5k+1)\arctg(\sqrt{2}k)\\&+(-(k+1)^4+k^2-1)\ln(k^2+1)\\&+(-2(k+1)^2k^2)\arctg\frac{1}{k}\\ &-(2(k+1)^4-k^2+2)\ln(1+2(k+1)^2)\\&+\sqrt{8}(2k^5+8k^4+13k^3+10k^2+5k+1)\arctg(\sqrt{2}(k+1))\\&-(-(k+1)^4+k^2-1)\ln((k+1)^2)\\&-(-2(k+1)^2k^2)0\\ &\big)\end{aligned}$$

Тут лень снова поборола меня.

[mihail2102]

Это высший пилотаж. Мне бы просто это в голову не пришло. Кстати, посмотрите пожалуйста 6 страницу темы "корректность в расчете гравиполя тел", в разделе физики. Там Вы сделали замечание по поводу обоснования применения интегрирования по частям. Что имелось в виду? Я к тому, что я повсеместно применяю этот метод при интегрировании, в том числе и в материале на этой теме. Может именно здесь я делаю какую-то принципиальную ошибку?

[mihail2102]

Найдем $I_{21}$:

$I_{21}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R} \ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) dx$

интегрируем по частям:
$I_{21}= x\ln(x+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) $

$$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ (4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R))x dx}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R+R_{0}^2+3R^2})\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$

Вводим новую переменную:$x=t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2} \ $ второе интегральное слагаемое примет вид:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5\left\lbrace \ 4(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})-2(R_{0}+\sqrt{2}R)\right\rbrace(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2-2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$$K=\sqrt{2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2-2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}$$

$$\frac{0,5 (4(t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{4})-2t(R_{0}+\sqrt{2}R)-(R_{0}+\sqrt{2}R)^2)dt}\left\lbrace{R+\sqrt{2t^2+2t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}-2t(R_{0}+\sqrt{2}R)-R_{0}^2-2\sqrt{2}R_{0}R-2R^2+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{\left\lbrace 2(t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{4})-t(R_{0}+\sqrt{2}R)-\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}\right\rbrace dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$\int\limits_{}^{}(\frac{2t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R))dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$+(R_{0}+\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ 2tdt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}} \ (1)$$

Введем новую переменную:

$$m=(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2)}$$

$$(m-R)^2=2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$$

$$m^2-2Rm+R^2=2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2 $$

$$2t^2=m^2-2Rm-\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R-R^2 $$

$$t=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}$$

$$dm=\frac{0,5 \ 4tdt}{\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

Подставим в выражение (1) получим:

$$\frac{1}{\sqrt{2} }\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}dm}{m}+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R}{2})\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m}$$

$$ a=1 \ b=-2R \ c=-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2$$

это табличные интегралы:(Двайт 380.311, 380.001, 380.111

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}dm=\sqrt{am^2+bm+c}+\frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}} $$

$$ \int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{a^\frac{1}{2}}\ln\parallel 2\sqrt{(a(am^2+bm+c))}+2am+b \parallel $$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{(-c)^\frac{1}{2}}\arcsin\frac{bm+2c}{\parallel m \parallel (b^2-4ac)^\frac{1}{2}}$$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}-R\ln \parallel 2 \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln m$$

Возвращаемся к переменной t, \ $m=(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$

[superkonev]

Топикстартеру, возможно, будет интересно, что на форуме обсуждалась более общая задача нахождения поля равномерно заряженного
произвольного многогранника в произвольной точке topic134369.html . Гравитационное поле аналогично электрическому.
Всё решается решается по шаблону. Взятие интегралов не требуется. Кроме поля, также можно найти и потенциал.

[mihail2102]

superkonev, благодарен за ссылку.
Задача этой темы получить уже известный результат методами обозначенными в первом сообщении. Допускаю, что результат может быть не идентичен уже полученному ранее другими методами, и по объему и по содержанию, но основные свойства результата не должны отличаться. Пока не получается. Наверное из-за ошибок. Я излагаю все подробно. Отвлекать внимание и что-то выписывать нет необходимости. Нужно просто пробежаться по выкладкам.

[mihail2102]

Продолжим:возвратимся к переменной $ t \ $

$$ \ m=R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2} \ $$

подставим в выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}+2m-2R \parallel \right\rbrace $$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R )\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(m)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2} \\ $$

$$- \frac{R}{\sqrt{2}} \ln \parallel 2\sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2} \\ $$

$$ +2\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace -2R\parallel $$

$$- \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin \frac{-2R(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel (R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+ \frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}) \ (2)$$

сделаем преобразования:
$\sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}$
$=\sqrt{R^2+2R\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}+2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2 -2R^2-2R\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$
$-\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R-R^2$

$$=\sqrt{2t^2}=\sqrt{2}t$$

Таким образом выражение (2) будет иметь вид:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t-R\ln\parallel 2\sqrt{2}t+2\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel \right\rbrace $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}} $$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$$

Возвращаемся к переменной х:$t=x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}$
$x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\parallel 2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$
Вычислим отдельно:
$\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}=$
$\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}=$
$=\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2}$
тогда искомый интеграл будет иметь вид:
$x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\frac{R}{\sqrt{2}\ln}\parallel 2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2}\parallel $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}})^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$
Запишем неопределенный интеграл $ \ I_{21}$:
$I_{21}=x\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$$-x+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}$$

$+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$

[mihail2102]

Найдем $I_{22}$:
$I_{22}=\int\limits_{}^{}\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$
Интегрируем по частям:
$=x\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})$

$$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R))x dx}{\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}}$$

Второе интегральное слагаемое равно:

$$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-(R_{0}+\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{x dx}{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

Это табличные интегралы Двайт 160. 21 160.11 :

$$\int\limits_{}^{}\frac{x^2 dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$

В этих условиях интегралы будут иметь вид:
$a=2 \ $
$b=-2(R_{0}+\sqrt{2}R) \ $
$c=(R_{0}+\sqrt{2}R)^2$

$$ 2\left\lbrace \frac{x}{2}-\frac{-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{ 2 \ \ 2 \ 2 }\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)+0 \right\rbrace $$

$$-(R_{0}+\sqrt{2}R)\left\lbrace\frac{1}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2) $$

$$-\frac{-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{ \ 2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{8(R_{0}+\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}\right\rbrace $$

$$=x+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}r)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}$$

Запишем $I_{22}$ полностью:

$$I_{22}= x\ln\sqrt{(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R_{0}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2) $$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}$$

[mihail2102]

Запишем общее выражение поля в виде суммы неопределенных интегралов:
$H(x)=I_{11}-I_{12}-I_{21}+I_{22}$

$$H= x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrtR_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$+x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

$$-x\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$+x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}x-\sqrt{2}(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2)}(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$x\ln\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}RT_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x-(R_{0}+\sqrt{2}R)}{R_{0}+\sqrt{2}R}$$

Слагаемые Х сокращаются, $ вычисляется $H(x=\sqrt{2}R)-H(x=0)$

[mihail2102]

Продолжим: Находим выражение $H(R,R_{0})=H(x=\sqrt{2}R)-H(x=0)$
Представлять выражение $H(R,R_{0})$ будем непосредственно по строкам результирующего выражения Н предыдущего сообщения.

$$H(R,R_{0})=\sqrt{2}R\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2 })-0$$

$$+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}R_{0}+2R+2\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}R_{0}-2R+2\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$ \ $ \ -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-\sqrt{2}R\ln\sqrt{R_{0}^2+2R^2}+0$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R_{0}^2+2R^2)+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln((R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln(R_{0}^2+2R^2)-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln((R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{R_{0}-\sqrt{2}R}+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg(1)$$

$$-\sqrt{2}R\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})+0$$

$$-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(-\sqrt{2}R_{0}+2R+2\sqrt{R_{0}^2+3R^2})+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(-\sqrt{2}R_{0}-2R+2\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}+R)^2}}{(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$+\sqrt{2}R\ln\sqrt{R_{0}^2+2R^2}-0$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R_{0}^2+2R^2)+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln((R_{0}+\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(R_{0}^2+2R^2)-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln((R_{0}+\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{-R_{0}+\sqrt{2}R}{R_{0}+\sqrt{2}R}-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg(-1)$$

[mihail2102]

Продолжим: слагаемые с $\sqrt{2}$ у логарифма, сокращаются.
Введем обозначение $n=\frac{R_{0}}{R}$. Напряженность $H(n)$, без гравитационной постоянной$G$ будет иметь выражение:
$$H(n)=\rho_{k}R\left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}n+2+2\sqrt{n^2+3}}{\sqrt{2}n-2+2\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2}{(1+\sqrt{n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2)^\frac{1}{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2}{(1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2)^\frac{1}{2}}$
$$+\frac{n-\sqrt{2}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{n^2+3}}{1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3}}$
$$-\frac{n-\sqrt{2}}{4}\ln\frac{n^2+2}{(n-\sqrt{2})^2}$
$$-\frac{n-\sqrt{2}}{2}(\arctg\frac{n+\sqrt{2}}{n-\sqrt{2}}-\arctg(1))$
$$-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{-\sqrt{2}n+2+2\sqrt{n^2+3}}{-\sqrt{2}n-2+2\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3}}$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2}{(1+\sqrt{n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2)^\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2}{(1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2)^\frac{1}{2}}$
$$+\frac{n+\sqrt{2}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{n^2+3}}{1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3}}$
$$-\frac{n+\sqrt{2}}{4}\ln\frac{n^2+2}{(n+\sqrt{2})^2}$
$$\frac{n+\sqrt{2}}{2}(\arctg\frac{-n+\sqrt{2}}{n+\sqrt{2}}-\arctg(-1)) \right\rbrace $
После $\arctg(-1)$фигурная скобка закрывается.
Численная проверка дает предел выражения в фигурных скобках равное 1.414... при $n$ стремящейся к бесконечности. То есть значение поля на бесконечности суть конечная величина отличная от нуля. Но это ошибочный результат.

[Dedekind]

(Оффтоп)

То есть, это был такой очень... хитрый способ вычислить $\sqrt{2}$ ?:)

[mihail2102]

Извиняюсь, пропустил 4, $H(n)=4\rho_{k}R\left\lbrace ......$

[Ende]

Выкладки, разбросанные по разным страницам данной темы, собраны воедино в теме «гравитационное поле куба вдоль диагонали»
Данная тема закрыта.