Существование тензорного произведения

[UmnyjDurak]

Добрый день. В одном тексте было дано определение тензорного произведения векторных пространств через универсальное свойство. У доказательства существования было написано, что без ограничения общности (как легко видеть ) достаточно построить тензорное произведение для векторных пространств функций на произвольных множествах со значениями в поле. Вот только я как-то не вижу, почему мы этим не ограничиваем общность.
Вроде всё было бы ок, если бы мы для произвольного векторного пространства $V$ над полем $K$ нашли изоморфное ему пространство функций определённых на каком-то множестве $X$ со значениями в $K$. Если $V$ не является конечномерным пространством, то как найти соответствующее пространство функций, я не знаю. Не подскажите пожалуйста, как это сделать?

Наверное можно использовать тот факт, что два векторных пространств изоморфны, тогда и только тогда, когда их базисы равномощны. Вопрос тогда такой: Как найти множество $X$ такое, что базис пространства функций на $X$ со значениями в $K$, будет иметь одинаковую мощность как базис заданного линейного пространства $V$?

[пианист]

UmnyjDurak в сообщении #1592771 писал(а):

как найти соответствующее пространство функций

Функции на двойственном пространстве?

[Padawan]

пианист в сообщении #1592775 писал(а):

достаточно построить тензорное произведение для векторных пространств функций на произвольных множествах со значениями в поле

Так, наверное там говориться о функциях, принимающих конечное число ненулевых значений. Тогда $X$ - это базис Гамеля данного векторного пространства.

[UmnyjDurak]

пианист
Разве это будет работать для произвольных (не обязательно гильбертовых, к примеру) бесконечномерных пространств?

-- 06.05.2023, 20:18 --

Padawan
Посмотрел ещё раз - функции в тексте произвольные. Стандартное доказательство существования вроде проводится и правда с помощью функций принимающих ненулевое значение только на конечном подмножестве. Скорее мне просто интересно, можно ли такой изоморфизм и вправду найти...