2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вот предел
Сообщение04.05.2023, 17:28 
Аватара пользователя


29/04/19
51
Добрый день, любители математики!
Помогите взять предел. Имеется последовательность:
$C_1 = \dfrac {3} {4}, \quad\quad
C_2 = \dfrac {3^2} {2\cdot 7},\quad\quad
C_3 = \dfrac {3^4} {2\cdot 7\cdot 10},\\ \\
C_4 = \dfrac {3^5} {5\cdot 7\cdot 13},\quad\quad
C_5 = \dfrac {3^6} {7\cdot 13\cdot 16},\quad\quad
C_6 = \dfrac {3^8} {7\cdot 8\cdot 13\cdot19},\\ \\
C_7 = \dfrac {3^9} {11\cdot 13\cdot 16 \cdot 19},\quad\quad
C_8 = \dfrac {3^{10}} {5\cdot10\cdot11\cdot13\cdot19},\quad\quad
C_9 = \dfrac {3^{13}} {2\cdot11\cdot13\cdot100\cdot133},\\ \\
C_{10} = \dfrac {3^{14}} {2\cdot7\cdot10\cdot11\cdot13\cdot19\cdot31},\quad\quad ...\\
{ }$

Предел такой.

$ { }\\G=\lim_{n\to\infty} n^{1/3}C_n \quad \! .\\$

Последовательность образуется формулой

$\dfrac {1}{C_n}=   \dfrac {1}{n!}\dfrac {d^n}{dx^n} \left.{(1-x)^{-4/3}} \right|_{x=0}$

Нужно хотя бы доказать, что предел существует. Т.е. он не бесконечность и не нуль.
Например, я вычислил следующее:

$
{10}^{1/3}C_{10} \approx  0.8738795,\\
{100}^{1/3}C_{100} \approx  0.8910028,\\
{133}^{1/3}C_{133} \approx  0.89149183.\\
$

Последовательность очень медленно растёт. Хотя бы видно, что не нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение04.05.2023, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Пугающий вид, в котором Вы привели индивидуальные значения, понять их сущность не помогает, а мешает. А сущность проста - бином Ньютона, и вылезет какая-нибудь гамма от 1/3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение04.05.2023, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
$$\frac{n!}{\prod_{k=1}^n(k+1/3)}$$
Вот такие эти $C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение04.05.2023, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Разумеется, но он же их там ещё множит на $n^{1/3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение05.05.2023, 08:55 
Аватара пользователя


29/04/19
51
Подставил в mathcad
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/3}n!}{\prod_{k=1}^n(k+1/3)}\to $$Получил
$$
G=\dfrac{2\pi\sqrt 3}{9\Gamma{(2/3)}}\approx 0.8929795 .
$$
Это меня устраивает. Но как быть без маткада, неясно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение05.05.2023, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
superkonev в сообщении #1592575 писал(а):
Но как быть без маткада, неясно...
Посмотрите на формулу Валлиса для числа Пи. Там похожее бесконечное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение05.05.2023, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Согласно Гауссу,
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{z}}{(z+1)(z+2)\dotsm(z+n)}=\Gamma(z+1),$$
так что Ваш предел равен $\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)$. Mathcad зачем-то усложнил ответ с помощью формулы $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вот предел
Сообщение06.05.2023, 09:27 
Аватара пользователя


29/04/19
51
TOTAL, спасибо за подсказку формулы.
RIP, хорошее решение. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group