Вот предел

[superkonev]

Добрый день, любители математики!
Помогите взять предел. Имеется последовательность:
$C_1 = \dfrac {3} {4}, \quad\quad C_2 = \dfrac {3^2} {2\cdot 7},\quad\quad C_3 = \dfrac {3^4} {2\cdot 7\cdot 10},\\ \\ C_4 = \dfrac {3^5} {5\cdot 7\cdot 13},\quad\quad C_5 = \dfrac {3^6} {7\cdot 13\cdot 16},\quad\quad C_6 = \dfrac {3^8} {7\cdot 8\cdot 13\cdot19},\\ \\ C_7 = \dfrac {3^9} {11\cdot 13\cdot 16 \cdot 19},\quad\quad C_8 = \dfrac {3^{10}} {5\cdot10\cdot11\cdot13\cdot19},\quad\quad C_9 = \dfrac {3^{13}} {2\cdot11\cdot13\cdot100\cdot133},\\ \\ C_{10} = \dfrac {3^{14}} {2\cdot7\cdot10\cdot11\cdot13\cdot19\cdot31},\quad\quad ...\\ { }$

Предел такой.

$ { }\\G=\lim_{n\to\infty} n^{1/3}C_n \quad \! .\\$

Последовательность образуется формулой

$\dfrac {1}{C_n}= \dfrac {1}{n!}\dfrac {d^n}{dx^n} \left.{(1-x)^{-4/3}} \right|_{x=0}$

Нужно хотя бы доказать, что предел существует. Т.е. он не бесконечность и не нуль.
Например, я вычислил следующее:

$ {10}^{1/3}C_{10} \approx 0.8738795,\\ {100}^{1/3}C_{100} \approx 0.8910028,\\ {133}^{1/3}C_{133} \approx 0.89149183.\\ $

Последовательность очень медленно растёт. Хотя бы видно, что не нуль.

[ИСН]

Пугающий вид, в котором Вы привели индивидуальные значения, понять их сущность не помогает, а мешает. А сущность проста - бином Ньютона, и вылезет какая-нибудь гамма от 1/3.

[TOTAL]

$$\frac{n!}{\prod_{k=1}^n(k+1/3)}$$

Вот такие эти $C$

[ИСН]

Разумеется, но он же их там ещё множит на $n^{1/3}$.

[superkonev]

Подставил в mathcad

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/3}n!}{\prod_{k=1}^n(k+1/3)}\to $$

Получил

$$ G=\dfrac{2\pi\sqrt 3}{9\Gamma{(2/3)}}\approx 0.8929795 . $$

Это меня устраивает. Но как быть без маткада, неясно...

[TOTAL]

superkonev в сообщении #1592575 писал(а):

Но как быть без маткада, неясно...

Посмотрите на формулу Валлиса для числа Пи. Там похожее бесконечное произведение.

[RIP]

Согласно Гауссу,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{z}}{(z+1)(z+2)\dotsm(z+n)}=\Gamma(z+1),$$

так что Ваш предел равен $\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)$. Mathcad зачем-то усложнил ответ с помощью формулы $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$.

[superkonev]

TOTAL, спасибо за подсказку формулы.
RIP, хорошее решение. Спасибо.