Уравнение движения Земли

[Draeden]

Попробовал найти точное решение уравнения

$r(t)=e^{i t} \rho (t)$
$r''(t)=-\frac{k r}{|r|^3}$

которое легко преобразуется к виду $k+\rho(t)^2 \left(2 i \rho '(t)+\rho ''(t)\right)=\rho (t)^3$ но решить его не удаётся. К чему можно это свести, чтобы оно решалось ?

[ewert]

Draeden писал(а):

$r(t)=e^{i t} \rho (t)$

и что бы это могло значить?

[antbez]

Цитата:

которое легко преобразуется к виду
но решить его не удаётся.

Мне кажется, что аналитически это и не решить!

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Draeden писал(а):

$r(t)=e^{i t} \rho (t)$

и что бы это могло значить?

В таком виде предлагается искать решение.

[ewert]

Какой-то мнимый вид!

(нет чтоб честно выписать полярные координаты)

[Draeden]

Можно записать, что $r(t)=(\rho(t)\cos(t),\rho(t)\sin(t))$. Но ведь пару вещественных чисел можно трактовать как одно комплексное число, поэтому для краткости пишу в комплексной форме - выкладки будут проще.

Кстати, почему это его не решить аналитически ? Ведь известны три возможные траектории движения - эллипс, парабола и гипербола. Их как то получили, причём без компьютеров.

[ewert]

да можно-то всё можно. Только ведь: коли вы интерпретируете векторы как комплексные числа, и коли утверждаете, будто бы сии числа суть скаляр на чисто мнимую экспоненту -- тем самым утверждается, что угловая скорость перемещения тех планет есть константа. А это заведомо неверно: согласно всем законам Кеплера, постоянна вовсе не угловая скорость, а площадь, зачерчиваемая за единицу времени.

[Yu_K]

Можно просто в декартовой системе начать решать (плоская задача, Солнце покоится - будет система двух уравнений второго порядка), интеграл энергии найти - в зависимости от величины константы полной энергии будет гипербола, эллипс или окружность.

[Draeden]

Сорри... будем считать, что

$r(t)=(\cos (\phi (t)) \rho (t),\sin (\phi (t)) \rho (t))$

тогда получаем систему из двух уравнений:

$-2 \sin (\phi (t)) \rho '(t) \phi '(t)+\cos (\phi (t)) \rho ''(t)-\rho (t) \left(\cos (\phi (t)) \phi '(t)^2+\sin (\phi (t)) \phi ''(t)\right)=\frac{k \cos (\phi (t))}{\rho (t)^2}$

$2 \cos (\phi (t)) \rho '(t) \phi '(t)+\sin (\phi (t)) \rho ''(t)+\rho (t) \left(\cos (\phi (t)) \phi ''(t)-\sin (\phi (t)) \phi '(t)^2\right)=\frac{k \sin (\phi (t))}{\rho (t)^2}$

однако если умножить первое на $\cos (\phi (t)) $ а второе на $\sin (\phi (t)) $ и сложить то получим следующее:

$\rho ''(t)-\rho (t) \phi '(t)^2=\frac{k}{\rho (t)^2}$

а если первое умножить на $-\sin (\phi (t)) $ а второе на $\cos (\phi (t)) $ и сложить то получим следующее:

$-2 \rho '(t) \phi '(t)-\rho (t) \phi ''(t)=0$

[Brukvalub]

См. http://www.avtoferelrheo.narod.ru/Lection11_CentraiField.doc