2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение движения Земли
Сообщение16.11.2008, 19:38 
Аватара пользователя
Попробовал найти точное решение уравнения

$r(t)=e^{i t} \rho (t)$
$r''(t)=-\frac{k r}{|r|^3}$

которое легко преобразуется к виду $k+\rho(t)^2 \left(2 i \rho '(t)+\rho ''(t)\right)=\rho (t)^3$ но решить его не удаётся. К чему можно это свести, чтобы оно решалось ?

 
 
 
 Re: Уравнение движения Земли
Сообщение16.11.2008, 19:44 
Draeden писал(а):
$r(t)=e^{i t} \rho (t)$

и что бы это могло значить?

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 21:01 
Цитата:
которое легко преобразуется к виду
но решить его не удаётся.


Мне кажется, что аналитически это и не решить!

 
 
 
 Re: Уравнение движения Земли
Сообщение16.11.2008, 21:31 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Draeden писал(а):
$r(t)=e^{i t} \rho (t)$

и что бы это могло значить?
В таком виде предлагается искать решение.

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 21:37 
Какой-то мнимый вид!

(нет чтоб честно выписать полярные координаты)

 
 
 
 
Сообщение17.11.2008, 19:58 
Аватара пользователя
Можно записать, что $r(t)=(\rho(t)\cos(t),\rho(t)\sin(t))$. Но ведь пару вещественных чисел можно трактовать как одно комплексное число, поэтому для краткости пишу в комплексной форме - выкладки будут проще.

Кстати, почему это его не решить аналитически ? Ведь известны три возможные траектории движения - эллипс, парабола и гипербола. Их как то получили, причём без компьютеров.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2008, 20:09 
да можно-то всё можно. Только ведь: коли вы интерпретируете векторы как комплексные числа, и коли утверждаете, будто бы сии числа суть скаляр на чисто мнимую экспоненту -- тем самым утверждается, что угловая скорость перемещения тех планет есть константа. А это заведомо неверно: согласно всем законам Кеплера, постоянна вовсе не угловая скорость, а площадь, зачерчиваемая за единицу времени.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2008, 20:19 
Можно просто в декартовой системе начать решать (плоская задача, Солнце покоится - будет система двух уравнений второго порядка), интеграл энергии найти - в зависимости от величины константы полной энергии будет гипербола, эллипс или окружность.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2008, 20:50 
Аватара пользователя
Сорри... будем считать, что

$r(t)=(\cos (\phi (t)) \rho (t),\sin (\phi (t)) \rho (t))$

тогда получаем систему из двух уравнений:

$-2 \sin (\phi (t)) \rho '(t) \phi '(t)+\cos (\phi (t)) \rho ''(t)-\rho (t) \left(\cos (\phi (t)) \phi '(t)^2+\sin (\phi (t)) \phi ''(t)\right)=\frac{k \cos (\phi (t))}{\rho (t)^2}$

$2 \cos (\phi (t)) \rho '(t) \phi '(t)+\sin (\phi (t)) \rho ''(t)+\rho (t) \left(\cos (\phi (t)) \phi ''(t)-\sin (\phi (t)) \phi '(t)^2\right)=\frac{k \sin (\phi (t))}{\rho (t)^2}$

однако если умножить первое на $\cos (\phi (t)) $ а второе на $\sin (\phi (t)) $ и сложить то получим следующее:

$\rho ''(t)-\rho (t) \phi '(t)^2=\frac{k}{\rho (t)^2}$

а если первое умножить на $-\sin (\phi (t)) $ а второе на $\cos (\phi (t)) $ и сложить то получим следующее:

$-2 \rho '(t) \phi '(t)-\rho (t) \phi ''(t)=0$

 
 
 
 
Сообщение17.11.2008, 20:56 
Аватара пользователя
См. http://www.avtoferelrheo.narod.ru/Lection11_CentraiField.doc

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group