Критерий Эйзенштейна

[ohart]

Можно сформулировать такую гипотезу, как некое обращение критерия Эйзенштейна:
Пусть $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ - неприводимый над $\mathbb{Q}$ многочлен. Тогда существует подстановка $x=g(y)\in\mathbb{Z}[y]$ такая, что $f(g(y))$ удовлетворяет критерию Эйзенштейна.
Можно ли это опровергнуть или доказать?

[mathematician123]

Возможно, $f(x) = x^2 + 4$ является контрпримером. По крайней мере, подстановку, для которой $\deg(g) < 4$ подобрать невозможно.

[ohart]

mathematician123 в сообщении #1591651 писал(а):

Возможно, $f(x) = x^2 + 4$ является контрпримером. По крайней мере, подстановку, для которой $\deg(g) < 4$ подобрать невозможно.

Есть набросок доказательства того, что до 3-й степени не проходит? Линейная подстановка очевидно не работает.

[mathematician123]

ohart
Например,

$$(ay^2 + by + c)^2 + 4 = a^2y^4 + 2aby^3 + (2ac + b^2)y^2 + 2bcy + (c^2 + 4) $$

Если предположить существование простого $p$, для которого работает критерий Эйзенштейна, то $a$ не делится на $p$. Тогда из $p \mid 2ab$ следует $p \mid 2b$. Случай $p = 2$ невозможен. В случае $p \mid b$: из $p \mid 2ac + b^2$ следует $p \mid c$, а это противоречит $p \mid c^2 + 4$.

Для третьей степени аналогично. Думаю, что в общем случае можно рассуждать похожим образом, но строгого доказательства у меня нет.

[ohart]

mathematician123 в сообщении #1591667 писал(а):

ohart
Например,

$$(ay^2 + by + c)^2 + 4 = a^2y^4 + 2aby^3 + (2ac + b^2)y^2 + 2bcy + (c^2 + 4) $$

Если предположить существование простого $p$, для которого работает критерий Эйзенштейна, то $a$ не делится на $p$. Тогда из $p \mid 2ab$ следует $p \mid 2b$. Случай $p = 2$ невозможен. В случае $p \mid b$: из $p \mid 2ac + b^2$ следует $p \mid c$, а это противоречит $p \mid c^2 + 4$.

Для третьей степени аналогично. Думаю, что в общем случае можно рассуждать похожим образом, но строгого доказательства у меня нет.

Да, работает. Надо подумать, спасибо.

[RIP]

Вроде можно и в общем случае.
$p=2$ быть не может, поскольку свободный член либо нечётен, либо делится на $4$.
Если $p>2$, то получаем над полем $\mathbb{F}_p$

$$g(x)^2+4=a^2x^{2n} \iff g(x)^2=(ax^n+2)(ax^n-2),$$

откуда $ax^n+2=au(x)^2$, $ax^n-2=av(x)^2$, $a(u(x)^2-v(x)^2)=4$, $\deg u=\deg v=0$, что невозможно.

[RIP]

Что-то я перемудрил: $4=(ax^n+g(x))(ax^n-g(x))$, откуда $ax^n\pm g(x)$ — константы, что невозможно.

[ohart]

RIP в сообщении #1591677 писал(а):

Что-то я перемудрил: $4=(ax^n+g(x))(ax^n-g(x))$, откуда $ax^n\pm g(x)$ — константы, что невозможно.

Но ведь из того, что в поле $\mathbb{F}_p[x]$ они константы не следует, что они константы в $\mathbb{Z}[x]$. И в предыдущем доказательстве тот же самый момент вроде. Или я что-то упускаю?

[RIP]

Получается, что $n=0$, то есть $g(x)^2+4$ — константа по модулю $p$, что противоречит критерию Эйзенштейна.

[ohart]

RIP в сообщении #1592012 писал(а):

Получается, что $n=0$, то есть $g(x)^2+4$ — константа по модулю $p$, что противоречит критерию Эйзенштейна.

Ясно, спасибо!