Есть ли методы решения систем неравенств ("нетождеств")?

[Deciptikon]

Столкнулся на практике с задачей в которой нужно решать систему неравенств следующего вида:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1 2^1 + a_2 2^2 + a_3 2^3 + ...\ne& b_1 2^1 + b_2 2^2 + b_3 2^3 + ... \\ a_1 2^1 + a_2 2^2 + a_3 2^3 + ...\ne& c_1 2^1 + c_2 2^2 + c_3 2^3 + ... \\ a_1 2^1 + a_2 2^2 + a_3 2^3 + ...\ne& d_1 2^1 + d_2 2^2 + d_3 2^3 + ... \\ \colon\\ b_1 2^1 + b_2 2^2 + b_3 2^3 + ...\ne& c_1 2^1 + c_2 2^2 + c_3 2^3 + ... \\ b_1 2^1 + b_2 2^2 + b_3 2^3 + ...\ne& d_1 2^1 + d_2 2^2 + d_3 2^3 + ... \\ \colon\\ c_1 2^1 + c_2 2^2 + c_3 2^3 + ...\ne& d_1 2^1 + d_2 2^2 + d_3 2^3 + ... \\ \colon\\ \end{array} \right.$$

Есть ли методы решения таких систем? стандартные учебники предлагают только решения с $\leqslant$, $\geqslant$, $<$, $>$
Пытался заменять одно неравенство (или это "нетождество"?): $\ne&$ на два вида $(...<...)\wedge(...>...)$, но получается слишком не красиво и громоздко.
Есть ли какие учебники или хоть что-то? хотя бы просто по системам неравенств ("нетождеств"?) с $\ne&$, не обязательно по таким как я привел выше.
Как вообще они называются? (а то я тут пользуюсь именованием "нетождество" ...)

[zykov]

А как Вы себе такое решение представляете?
Будет какое-то сложное множество. Наверно эта система неравенств - самое простое описание этого множества.

Можно например взять одно неравенство за раз. Заменить на равенство. Найти множество решений.
Потом так повторить для всех и взять объединение Этих множеств. Дополнение к этому объединению и будет решением для системы неравенств.

[Alex Krylov]

Вы можете наоборот решить эту систему с равенствами! Если тут речь идет о СЛАУ, то получить решение, например, в виде линейного подпространства. А дальше можно для любого вектора (точки данных) проверить его принадлежность данному подпространству. Можно построить ортогональное дополнение этого подпространства... Можно из любого произвольного вектора вычитать его проекцию на указанное подпространство и таким образом получать корректные решения...

[zykov]

Alex Krylov в сообщении #1591879 писал(а):

Вы можете наоборот решить эту систему с равенствами!

Фигурная скобка слева обозначает объединение по "И".
Если взять такую же систему, но с равенствами объедененными по "И", то её решение не будет иметь отношения к решению системы неравенств, т.к. логическая инверсия преобразует "И" в "ИЛИ". Нужно брать систему равенств объедененную по "ИЛИ" (что я описал выше), тогда можно получить дополнительное множество к множеству решений системы неравенств.

Пересечение линейных простанранств даёт линейное пространство.
А вот объединение линейных пространств вообще говоря даёт множество, которое не является линейным пространством. (Например на плоскости возьмите две разных прямых проходящих чере центр и возьмите их объединение.)

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1591950 писал(а):

А вот объединение линейных пространств вообще говоря даёт множество, которое не является линейным пространством.

Но если все же дает подпространство, то про это объединение можно сказать кое-что красивое. Если $Y$ и $Z$ - два подпространства некоторого пространства $V$ и $Y \cup Z$ - подпространство $V$, то или $Y \subset Z$, или $Z \subset Y$.

А еще для того, чтобы объединение было подпространством, есть вот такое достаточное условие: Пусть дано семейство $\{Y_i\}, i \in I$ подпространств некоторого пространства $V$. Тогда если для любой пары подпространств из семейства найдется подпространство из этого семейства, накрывающее эту пару (т.е. накрывающее их объединение), то $\bigcup\limits_{i \in I}^{}Y_i$ будет подпространством пространства $V$.

[Евгений Машеров]

А эти Ваши a,b,c... действительные числа? Или может 0 или 1?

[tolstopuz]

$\left\{ \begin{array}{rcl} a&\ne&b\\ a&\ne&c\\ a&\ne&d\\ b&\ne&c\\ b&\ne&d\\ c&\ne&d\\ \colon\\ a&=&a_1 2^1 + a_2 2^2 + a_3 2^3 + ...\\ b&=&b_1 2^1 + b_2 2^2 + b_3 2^3 + ...\\ c&=&c_1 2^1 + c_2 2^2 + c_3 2^3 + ...\\ d&=&d_1 2^1 + d_2 2^2 + d_3 2^3 + ...\\ \colon\\ \end{array} \right$
Теперь решение тривиально.

[maxal]

Deciptikon
Что-то подобное я решаю в своей статье https://arxiv.org/abs/2303.02872