А вот объединение линейных пространств вообще говоря даёт множество, которое не является линейным пространством.
Но если все же дает подпространство, то про это объединение можно сказать кое-что красивое. Если

и

- два подпространства некоторого пространства

и

- подпространство

, то или

, или

.
А еще для того, чтобы объединение было подпространством, есть вот такое достаточное условие: Пусть дано семейство

подпространств некоторого пространства

. Тогда если для любой пары подпространств из семейства найдется подпространство из этого семейства, накрывающее эту пару (т.е. накрывающее их объединение), то

будет подпространством пространства

.