Найти гармноническую функцию,сохраняющую постоянное значение

[Poehavchij]

Найти гармоническую функцию, сохраняющую постоянное значение на каждой кривой семейства кривых.
К примеру окружность $x^2+y^2 = C$

Честно говоря хожу вокруг до окола и не могу понять. Если не трудно подскажите как решить, закреплю самостоятельно результат тремя другими кривыми.

[GAA]

Вы бы написали, что понимается под гармонической функцией. Иначе можно любую фигню написать в ответ.

Например. Пусть гармонической функцией называется вещественная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа $\Delta u(x,y) = 0$. Тогда функция $u(x,y) \equiv 0$ будет постоянна на любых кривых [в плоскости $XY$].

А если определение гармонической где-то такое, то может в условии задания что-то пропущено?

-- Fri 28.04.2023 12:16:44 --

Если в условии пропущено "не тривиальную". То тоже очевидно: записать $\Delta u$ в полярной системе координат и искать функции, не зависящие от полярного угла. [В учебниках по УМФ, обычно, это приводится.]

[пианист]

Видимо, искать $u = f(x^2+y^2)$. Если подставить такой анзац в уравнение Лапласа, получим на $f$ оду $t^2\frac{d^2f}{dt^2} + \frac{df}{dt} = 0$.
Но с произвольным семейством такой фокус не пройдет.

[Null]

пианист в сообщении #1591499 писал(а):

$t^2\frac{d^2f}{dt^2} + \frac{df}{dt} = 0$.

У меня $t\frac{d^2f}{dt^2} + \frac{df}{dt} = 0$ при $t=x^2+y^2$. Ну и все такие функции имеют особенность в 0 если они не константы.

[Poehavchij]

пианист Блин.. все так просто. Функции там подобраны красивые, так что думаю что везде это прокатит.
Я кстати думал об этом методе, но на пол пути остановился ибо подумал, а все ли мы функции так получим ? Ну т.е. может ли существовать функции, которые не имеют вида $ f(x^2 + y^2) $, а например более сложного, но все равно постоянна на кривой.
P.S. и да, там просто t)

-- 28.04.2023, 14:09 --

GAA
Я думаю что имееться ввиду гармоническая на всей своей области определения, а тривиальная функция будет в ответе, ибо так и так мы будем решать дифур, где получим константы, положим их 0 получим ответ 0.
Ваш метод кажеться более универсальным, но чуток сложнее) Это задачка из тфкп а не умф.

[GAA]

Так о чём вопрос был?
Так как, если $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$, то получаем $\frac {\partial} {\partial \rho} (\rho \frac {\partial u}{\partial \rho})$ = 0. И стандартный ответ: $u(\rho) = C_1 + C_2 \ln \rho$.

[DeBill]

Poehavchij
А, если из ТФКП, то, возможно, имелось в виду что-то типа "выпрямим семейство кривых (переведем в семейство вертикальных прямых) конформным отображением $f$, тогда $Re f$ - искомая гармоническая..."

[Poehavchij]

DeBill
Да нене, там так как я написал. Это Евграфов, 8.32

-- 28.04.2023, 14:22 --

GAA
Я не понимю откуда этот дифура взялся)) Мне кажеться это умф до которого мне еще семестр

[пианист]

Да, конечно, $t$, а не $t^2$.

Poehavchij в сообщении #1591504 писал(а):

Функции там подобраны красивые, так что думаю что везде это прокатит.

В путь. Добавлю, что с $x^2+y^2$ получается, потому что уравнение Лапласа сохраняется при поворотах.

Poehavchij в сообщении #1591504 писал(а):

все ли мы функции так получим ? Ну т.е. может ли существовать функции, которые не имеют вида $ f(x^2 + y^2) $, а например более сложного, но все равно постоянна на кривой.

Возьмите $x^2+y^2$ в качестве одной их координат (отличной от $x,y$ координатной системы).

[GAA]

Poehavchij в сообщении #1591504 писал(а):

гармоническая на всей своей области определения

А что есть вся область определения? Tсли $\mathbb C$, то теорема Лиувилля: Если функция $u$ гармонична в $\mathbb C$ и ограничена хотя бы с одной стороны для всех $z \in \mathbb C$, то $u \equiv \operatorname{const}$.

[Poehavchij]

пианист
Большое спасибо)

[GAA]

Poehavchij в сообщении #1591510 писал(а):

там так как я написал. Это Евграфов, 8.32

Poehavchij в сообщении #1591483 писал(а):

Найти гармоническУЮ функциЮ

В книге Сборник задач по теории аналитических функций (под ред. Евграфова, второе издание), в 8.32

Цитата:

Найти гармоническИЕ функциИ

[svv]

Poehavchij
Там, кстати, есть ответы, и ответ к этой задаче совпадает (с точностью до обозначений) с ответом GAA. Думаю, его тоже можно поблагодарить.

[GAA]

В 8.32 четыре упражнения
1. $x=C$. 2. $y = Cx$. 3. $x^2 + y^2 =C$. 4. $x^2 + y^2 = Cx$.

1. Функция не зависит от $y$. Поэтому уравнение Лапласа сразу превращается в $\frac {d^2u} { dx^2} = 0$ и решение сразу выписывается.

2. Замену переменных изучали в курсе анализа (1 курс). В полярную систему координат переводили уравнение Лапласа в «теории поля» (раньше это был раздел в математическом анализе, 1 курс). [Можно посмотреть, например, в Ильин, Позняк Начала математического анализа. Ч. II.]
Функция зависит только от полярного угла, но не зависит от полярного радиуса, поэтому из $\frac {d^2u} { d\varphi^2} =0$ (здесь $\varphi$ — угол в полярной системе координат) сразу получаем $u = C_1\varphi + C_2$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем $u = A\arctg(y/x) + B$.
Но можно было пересчитать производные и получить

$(t^2+1) \frac {t^2 u}{dt^2} + 2t\frac {t u}{dt} = 0$ (где $t = \frac y x$)

Решение: $u = A\arctg t + B$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем $u = A\arctg (y/x) + B$.

4. Пересчитывая производные, получим

$t^2 \frac {d^2u}{dt^2} + 2t \frac {du}{dt} = 0$ (здесь $t = \frac {x^2+y^2}{x}$)

Решение: $u = C_1 + C_2 / t$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем $u = C_1 + C_2 \frac {x} {x^2 + y^2}$.

Т.е. в технических выкладках ТФКП не нужна. Чистый математический анализ, начальный курс. Или тут другой метод решения предполагается? Или в обоснованиях как-то ТФКП можно привлечь? В сборнике это глава II, §8. В учебнике гармонические функции изучаются позже (и использовать тот (более поздний) материал не видно как).

-- Sat 29.04.2023 14:17:49 --

svv, лучше скажите зачем в ТФКП это упражнение, а я Вам спасибо скажу.

[svv]

GAA, к сожалению, проще решить все эти упражнения, чем сказать, что они делают в том задачнике.