В 8.32 четыре упражнения
1.

. 2.

. 3.

. 4.

.
1. Функция не зависит от

. Поэтому уравнение Лапласа сразу превращается в

и решение сразу выписывается.
2. Замену переменных изучали в курсе анализа (1 курс). В полярную систему координат переводили уравнение Лапласа в «теории поля» (раньше это был раздел в математическом анализе, 1 курс). [Можно посмотреть, например, в Ильин, Позняк Начала математического анализа. Ч. II.]
Функция зависит только от полярного угла, но не зависит от полярного радиуса, поэтому из

(здесь

— угол в полярной системе координат) сразу получаем

. Возвращаясь к исходным переменным, получаем

.
Но можно было пересчитать производные и получить

(где

)
Решение:

. Возвращаясь к исходным переменным, получаем

.
4. Пересчитывая производные, получим

(здесь

)
Решение:

. Возвращаясь к исходным переменным, получаем

.
Т.е. в технических выкладках ТФКП не нужна. Чистый математический анализ, начальный курс. Или тут другой метод решения предполагается? Или в обоснованиях как-то ТФКП можно привлечь? В сборнике это глава II, §8. В учебнике гармонические функции изучаются позже (и использовать тот (более поздний) материал не видно как).
-- Sat 29.04.2023 14:17:49 --svv, лучше скажите зачем в ТФКП это упражнение, а я Вам спасибо скажу.