Спрямляемая кривая

[Padawan]

Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, 1969, стр. 22

По-моему тут ошибка. Пусть $z(t)=x(t)+iy(t)$, где $x(t)=t$, $y(t)=K(t)$, где $K(t)$ -- канторова лестница, $t\in [0,1]$. Тогда при п.в $t\in [0,1]$ существует $z'(t)=1$, $z'(t)$ интегрируема по Лебегу (слово абсолютно -- лишнее, интегрируемость по Лебегу равносильна абсолютной интегрируемости), но длина канторовой лестницы равна $2$, и это не равно $\int_0^1 |z'(t)| dt$. То есть формула для длины явно не верна.

А верно ли, что если $z'(t)$ почти всюду существует и интегрируема по Лебегу, то функция $z(t)$ имеет ограниченную вариацию? Пусть известно, что $z(t)$ непрерывны.

[mihaild]

Да, что-то странное. Возможно в какой-то момент это было "$z(t)$ абсолютно непрерывна", потом абсолютная непрерывность превратилась в абсолютную интегрируемость производной?

Padawan в сообщении #1586285 писал(а):

А верно ли, что если $z'(t)$ почти всюду существует и интегрируема по Лебегу, то функция $z(t)$ имеет ограниченную вариацию?

Возьмите лестницу Кантора, приклейте к ней справа лестницу Кантора вниз, сжатую по горизонтали в два раза и по вертикали в два раза, потом еще лестницу Кантора вверх, сжатую по вертикали в три раза и по горизонтали в четыре, и т.д. - по горизонтали сжимаем в $2^n$ раз, по вертикали в $n$ - каждый шаг увеличивает вариацию на $\frac{2}{n}$.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1586287 писал(а):

Возможно в какой-то момент это было "$z(t)$ абсолютно непрерывна",

Ну и это тоже неверно. Для спрямляемости необходимо и достаточно, чтобы $z(t)$ была ограниченной вариации.

(Оффтоп)

В общем, второй Зорич. Ошибка на ошибке. Пора тему открывать "Ошибки в Шабате". Не понимаю, как так можно к своему тексту относится. Не уверен - не пиши.

[mihaild]

Padawan в сообщении #1586290 писал(а):

Ну и это тоже неверно. Для спрямляемости необходимо и достаточно, чтобы $z(t)$ была ограниченной вариации.

Но из абсолютной непрерывности следует ограниченность вариации. Если дальше всё равно везде длина считается через производную, то можно сразу ограничиться абсолютно непрерывными путями.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1586291 писал(а):

можно сразу ограничиться абсолютно непрерывными путями.

Можно. Только не надо называть их спрямляемыми, это устоявшийся термин термин. Тем более, что Шабат сам на 23 странице в сноске пишет, что "для спрямляемости пути необходимо и достаточно, чтобы функция $z(t)=x(t)+iy(t)$ имела ограниченное изменение."

-- Ср мар 22, 2023 15:32:34 --

На самом деле любая спрямляемая кривая длины $L$ может быть получена как $z(s)=z_0+\int\limits_0^s e^{i\theta(\sigma)}d\sigma$, где $\theta(s)$ --действительная измеримая на $[0,L]$ функция, $s$ -- натуральный параметр (длина дуги). То есть $z(s)$ будет абсолютно непрерывной в натуральной параметризации и $|z(s)|=1$ почти всюду.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1586285 писал(а):

По-моему тут ошибка.

А почему именно тут ошибка? Ведь это определение, а не теорема. Я так понял, что тут автор вводит определение длины пути. Если для отдельного класса экзотических путей это определение не совпадает с общепринятым, ну и что? Если и искать ошибку, то надо смотреть, где применяется это определение. А если открыть параграф 2.5 "Интеграл", то мы увидим, что автор ограничивается рассмотрением только кусочно-гладких путей.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1586531 писал(а):

А почему именно тут ошибка?

Потому что упоминаются и не кусочно-гладкие пути, и для них при таком определении ломается теорема об инвариантности (которая явно не сформулирована, но сказано, что интеграл имеет смысл и для кривой).

[DeBill]

Padawan

mihaild в сообщении #1586287 писал(а):

Да, что-то странное. Возможно в какой-то момент это было "$z(t)$ абсолютно непрерывна", потом абсолютная непрерывность превратилась в абсолютную интегрируемость производной?

Видимо, так оно и было.

Вообще, я уже несколько раз встречал тексты, где вместо "абсолютная непрерывность" было "функция с суммируемой (т.е., абсолютно интегрируемой) производной", и каждый раз меня коробило, и вспоминалась канторова лестница. И вот только на днях, листая книжку Титчмарша, я осознал, в чем тут прикол. Именно, ранее был популярен термин "интеграл" (так называлась функция, являющаяся первообразной суммируемой функции) (по нынешнему, это и есть абс. непрерывная функция). Заменяя в правильной формулировке утверждения устаревший термин "интеграл" его определением, и расшифровывая слово "первообразная", мы и получим то, что получилось: "функция с абсолютно интегрируемой производной".