Не понимаю пример на ОДЗ дроби под корнем

[Neznajka_]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, я не понимаю своей ошибки.

Тема по алгебре - квадратный арифметический корень. Один из примеров для самостоятельного решения из учебника:

Найти область определения выражения: $\sqrt{\frac{b-9}{b+1}$

Я рассуждаю так:

Если \sqrt{\frac{b-9}{b+1}}=\frac{\sqrt{b-9}}{\sqrt{b+1}}, то:

$ \begin{cases} b-9\geq0,}\\ b+1>0}\\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b\geq9,}\\ b>-1}\\ \end{cases} $\Leftrightarrow b \in [ 9; +\infty [

Но в конце учебника ответ такой:

$]-\infty; -1[ \cup [ 9; +\infty [$

Никак не могу понять, что не так.

[artempalkin]

Neznajka_ в сообщении #1591256 писал(а):

Если $\sqrt{\frac{b-9}{b+1}}=\frac{\sqrt{b-9}}{\sqrt{b+1}}$, то:

Подставьте $-3$ в левую и правую часть

[Neznajka_]

artempalkin в сообщении #1591258 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1591256 писал(а):

Если $\sqrt{\frac{b-9}{b+1}}=\frac{\sqrt{b-9}}{\sqrt{b+1}}$, то:

Подставьте $-3$ в левую и правую часть

Ну, справа получится случай извлечения арифметического корня из отрицательного числа, что делает выражение бессмысленным.
В чем послание - что таки учебник не прав? Ведь указанное равенство должно всегда быть тождеством...

[artempalkin]

Neznajka_ в сообщении #1591259 писал(а):

В чем послание - что таки учебник не прав? Ведь указанное равенство должно всегда быть тождеством...

Ну тождество - это означает, что равенство при всех значениях переменной, а у вас, очевидно, равно не при всех (при некоторых одна часть определена, а другая нет). То есть указанное выражение не есть тождество. мы с вами только что это доказали.

Поэтому вам нужно решать такое неравенство: $\frac{b-9}{b+1}\geqslant 0$

[Neznajka_]

Я понял, спасибо большое!