Ассоциированные простые числа

[Maxim19]

Здравствуйте, в кольце простое число p умноженное на обратимое является простым. Почему? В книге это озвучили, но я вот расписав их произведение не могу найти противоречий, что они не являются произведением необратимых, и что они необратимы. Может кто нибудь это показать?

-- 25.04.2023, 02:12 --

Кольцо естественно без делителей нуля

[mathematician123]

Maxim19 в сообщении #1591023 писал(а):

я вот расписав их произведение не могу найти противоречий, что они не являются произведением необратимых, и что они необратимы. Может кто нибудь это показать?

Так нужно неприводимость или простоту доказать? Свойство простоты сильнее, чем свойство неприводимости.

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1591023 писал(а):

Здравствуйте, в кольце простое число p умноженное на обратимое является простым. Почему?

Пусть $F$ - целостное кольцо. У Вас есть $q = p \cdot \varepsilon$, где $p$ - простой, а $\varepsilon$ обратим. Отсюда следует, что $p$ и $q$ ассоциированы (обозначается $p \sim q$), а значит у них одинаковые делители. Берем произвольный делитель $d$ числа $q$. Тогда $d \sim 1$ или $d \sim p$ (т.к. $d$ является делителем числа $p$). Из $d \sim p$ следует, что $d \sim q$ (т.к. ассоциированность - отношение эквивалентности). Таким образом, этот наш произвольный делитель $d$ числа $q$ оказался ассоциированным либо с $1$, либо с $q$, а значит $q$ простой.

[Maxim19]

Хорошо, а как доказать, что ассоциированное простому числу не делитель единицы?

-- 25.04.2023, 23:40 --

EminentVictorians
И ещё мне не совсем понятно. В кольце не обязательно следует, что если элемент делит произведение элементов, то делит одно из них. Можно немного подробнее?

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1591168 писал(а):

Хорошо, а как доказать, что ассоциированное простому числу не делитель единицы?

Метод от противного. Предположим, что нашлось некоторое $x \sim p$, ассоциированное с некоторым простым $p$, такое, что $x | 1$ (или, что эквивалентно, $1 \vdots x$). Тогда, очевидно, что $1 \sim x$, а значит $1 \sim p$ (т.к. ассоциированность транзитивна). Следовательно, $p$ обратим. А такого не может быть.

Maxim19 в сообщении #1591168 писал(а):

В кольце не обязательно следует, что если элемент делит произведение элементов, то делит одно из них. Можно немного подробнее?

А я разве где-то использовал такое условие?

У Вас, вероятно, затруднение с этим местом.

EminentVictorians в сообщении #1591103 писал(а):

У Вас есть $q = p \cdot \varepsilon$, где $p$ - простой, а $\varepsilon$ обратим. Отсюда следует, что $p$ и $q$ ассоциированы

То, что $q$ делится на $p$, - очевидно? А дальше просто умножьте обе части равенства на $\varepsilon ^ {-1}$ и получите то, что требуется.

[Maxim19]

Нет, проблема в месте, где Вы сказали:т.к. $d$ является делителем числа $p$. Почему, если это делитель ассоциированного с $p$?

[mathematician123]

Maxim19
Элемент $p$ называется простым, если из $p \mid ab$ следует, что $p \mid a$ или $p \mid b$. Элемент $p$ называется неприводимым, если из $p = ab$ следует, что $a$ или $b$ обратим.

Вначале Вы говорите про простые элементы

Maxim19 в сообщении #1591023 писал(а):

Здравствуйте, в кольце простое число p умноженное на обратимое является простым.

А, судя по дальнейшему обсуждению, пытаетесь доказать неприводимость. Так что именно нужно доказать?

[Maxim19]

Не понимаю, в книге сказано, что простой элемент тогда, когда не делитель нуля, и когда не выражается через произведение необратимых

-- 26.04.2023, 01:04 --

А доказать нужно, что произведение простого и делителя нуля является простым

[mathematician123]

Maxim19 в сообщении #1591183 писал(а):

Не понимаю, в книге сказано, что простой элемент тогда, когда не делитель нуля, и когда не выражается через произведение необратимых

В какой книге?

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1591180 писал(а):

Нет, проблема в месте, где Вы сказали:т.к. $d$ является делителем числа $p$. Почему, если это делитель ассоциированного с $p$?

Потому что у ассоциированных элементов множества делителей совпадают. Я же там написал об этом:

EminentVictorians в сообщении #1591103 писал(а):

Отсюда следует, что $p$ и $q$ ассоциированы (обозначается $p \sim q$), а значит у них одинаковые делители.

Это простой факт, попробуйте доказать самостоятельно, если сомневаетесь.

-- 26.04.2023, 01:21 --

mathematician123, есть разные определения. То, что Вы называете неприводимым элементом, некоторые авторы (например, Винберг, Курс алгебры, стр. 121) называют простым. У Maxim19 как раз именно такая терминология.

[Maxim19]

EminentVictorians
Да, вы правы на счёт этого факта. Вроде всё понял, спасибо