Хорошо, а как доказать, что ассоциированное простому числу не делитель единицы?
Метод от противного. Предположим, что нашлось некоторое

, ассоциированное с некоторым простым

, такое, что

(или, что эквивалентно,

). Тогда, очевидно, что

, а значит

(т.к. ассоциированность транзитивна). Следовательно,

обратим. А такого не может быть.
В кольце не обязательно следует, что если элемент делит произведение элементов, то делит одно из них. Можно немного подробнее?
А я разве где-то использовал такое условие?
У Вас, вероятно, затруднение с этим местом.
У Вас есть

, где

- простой, а

обратим. Отсюда следует, что

и

ассоциированы
То, что

делится на

, - очевидно? А дальше просто умножьте обе части равенства на

и получите то, что требуется.