2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать равномерную сходимость по определению
Сообщение25.04.2023, 13:53 


14/02/20
872
Задачка 7(5) из второго тома Кудрявцева (стр. 365):
Исходя из определения равномерной сходимости, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+n\sqrt{n}},\ -\infty<x<+\infty$

"Исходя из определения" означает, в моем понимании, вот что: найти сумму ряда (поточечную) и доказать, что частичные суммы будут равномерно к ней сходиться. Так оно и есть в 7(1-4) (там ряды, сумму которых можно посчитать явно, в основном телескопические).

Понятно, что к этому ряду можно в одну секунду применить признак Вейерштрасса... но если действовать по определению, то как быть? Может быть, тут как-то легко считается сумма ряда, а я не вижу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость по определению
Сообщение25.04.2023, 19:36 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
Проще доказать, что остаток ряда: $\varphi _n(x)=\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }\frac 1{x^2+k\sqrt k}$ равномерно стремится к $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость по определению
Сообщение25.04.2023, 20:22 


14/02/20
872
mihiv в сообщении #1591116 писал(а):
Проще доказать, что остаток ряда: $\varphi _n(x)=\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }\frac 1{x^2+k\sqrt k}$ равномерно стремится к $0$.

Проще, чем что? Чем признак Вейерштрасса? Кажется, в данном случае ничего проще быть не может :) Но в любом случае это вроде бы не доказательство по определению...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость по определению
Сообщение25.04.2023, 20:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
Я имею в виду, что доказательство равномерной сходимости частичных сумм к сумме ряда эквивалентно доказательству равномерной сходимости остатков ряда к 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость по определению
Сообщение26.04.2023, 12:58 


14/02/20
872
mihiv в сообщении #1591128 писал(а):
Я имею в виду, что доказательство равномерной сходимости частичных сумм к сумме ряда эквивалентно доказательству равномерной сходимости остатков ряда к 0.

Ну да, критерий Коши в целом тоже эквивалентен. Но, думаю, вы правы, все же утверждение об остатках ближе к определению, чем критерий Коши, скажем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group