Доказать равномерную сходимость по определению

[artempalkin]

Задачка 7(5) из второго тома Кудрявцева (стр. 365):
Исходя из определения равномерной сходимости, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+n\sqrt{n}},\ -\infty<x<+\infty$

"Исходя из определения" означает, в моем понимании, вот что: найти сумму ряда (поточечную) и доказать, что частичные суммы будут равномерно к ней сходиться. Так оно и есть в 7(1-4) (там ряды, сумму которых можно посчитать явно, в основном телескопические).

Понятно, что к этому ряду можно в одну секунду применить признак Вейерштрасса... но если действовать по определению, то как быть? Может быть, тут как-то легко считается сумма ряда, а я не вижу?

[mihiv]

Проще доказать, что остаток ряда: $\varphi _n(x)=\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }\frac 1{x^2+k\sqrt k}$ равномерно стремится к $0$.

[artempalkin]

mihiv в сообщении #1591116 писал(а):

Проще доказать, что остаток ряда: $\varphi _n(x)=\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }\frac 1{x^2+k\sqrt k}$ равномерно стремится к $0$.

Проще, чем что? Чем признак Вейерштрасса? Кажется, в данном случае ничего проще быть не может :) Но в любом случае это вроде бы не доказательство по определению...

[mihiv]

Я имею в виду, что доказательство равномерной сходимости частичных сумм к сумме ряда эквивалентно доказательству равномерной сходимости остатков ряда к 0.

[artempalkin]

mihiv в сообщении #1591128 писал(а):

Я имею в виду, что доказательство равномерной сходимости частичных сумм к сумме ряда эквивалентно доказательству равномерной сходимости остатков ряда к 0.

Ну да, критерий Коши в целом тоже эквивалентен. Но, думаю, вы правы, все же утверждение об остатках ближе к определению, чем критерий Коши, скажем.