Тождественное иррациональное неравенство

[Gepidium]

Здраствуйте.
Возникла трудность в такой задаче:
при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\leqslant 1$

Пробовала дважды возводить в квадрат и вроде бы доказала, но я же использовала неравносильные преобразования. Поэтому сомневаюсь.
Потом попробовала доказать через производные. Пришла к каким то громоздким выражениям.
Подскажите, может есть способ, которого я не вижу?

[Shadow]

Тригонометрию не пробовали?

[ShMaxG]

$$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$

[Gepidium]

Shadow в сообщении #1590820 писал(а):

Тригонометрию не пробовали?

Shadow
Не поняла, причём здесь тригонометрия?

ShMaxG в сообщении #1590833 писал(а):

$$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$

ShMaxG
Неравенство верное, но что это мне даёт?

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1590848 писал(а):

Не поняла, причём здесь тригонометрия?

Сама структура неравенства должна наводить на мысль, что поскольку $-1\leqslant a\leqslant 1$ и $-1\leqslant b\leqslant 1$, то возможна подстановка $a=\sin{p}$, $b=\sin{q}$.
Ну а формула синуса суммы Вам, надеюсь известна.

[ShMaxG]

Gepidium в сообщении #1590848 писал(а):

Неравенство верное, но что это мне даёт?

Оцените в соответствии с этим неравенством каждое слагаемое из двух множителей слева в вашей формуле.

[Dedekind]

Gagarin1968 в сообщении #1590849 писал(а):

поскольку $-1\leqslant a\leqslant 1$ и $-1\leqslant b\leqslant 1$

В условии, кстати, сказано

Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):

при любых вещественных $a$ и $b$

Так что либо там где-то модуль пропущен, либо условие некорректно сформулировано.

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1590851 писал(а):

либо условие некорректно сформулировано

Dedekind
Я полагаю, что формулировка

Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):

при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство

естественно, подразумевает "при любых допустимых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство". Как правило, в школьных задачах (а это школьная задача уровня 9 класса) это подразумевается и не оговаривается.

[someniatko]

Gagarin1968 в сообщении #1590857 писал(а):

это школьная задача уровня 9 класса

Если решать методами 9 класса, то в нем ребята еще не прошли тригонометрию в отрыве от геометрии треугольника, и уж тем более метод тригонометрической подстановки - так что нужно использовать более тривиальные вещи. Например, какие-то базовые неравенства.

[Gagarin1968]

someniatko в сообщении #1590866 писал(а):

ребята еще не прошли тригонометрию в отрыве от геометрии треугольника, и уж тем более метод тригонометрической подстановки - так что нужно использовать более тривиальные вещи

Хм, такая тригонометрическая подстановка, которая используется в этой задаче - самая тривиальная вещь. И, кстати, основное тригонометрическое тождество знают мои ученики-семиклассники (ну, правда, олимпиадники).

[Gepidium]

Спасибо, всё оказалось очень просто.
Тригонометрическую подстановку я конечно знала, но мне и в голову не могло прийти, что в этой задаче она решает моментально.
Ещё раз спасибо всем!

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):

Возникла трудность в такой задаче:
при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство
$(a-\sqrt{1-b^2})^2+(b-\sqrt{1-a^2})^2\ge 0$

Какая трудность, в левой части квадраты, они неотрицательны.

[miflin]

(Оффтоп)

TOTAL
Это действительно смешно?
"... в особенности если этот человек — женщина". (с)

[Aritaborian]

TOTAL, а я что-то не понял юмора. Вы же подменили текст.

[RIP]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1590965 писал(а):

TOTAL, а я что-то не понял юмора. Вы же подменили текст.

Он заменил неравенство эквивалентным, но уже очевидным. По-видимому, юмор в этом. Фактически то же самое решение, что и у ShMaxG, но другими словами.