fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 19:11 


28/03/21
230
Здраствуйте.
Возникла трудность в такой задаче:
при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\leqslant 1$

Пробовала дважды возводить в квадрат и вроде бы доказала, но я же использовала неравносильные преобразования. Поэтому сомневаюсь.
Потом попробовала доказать через производные. Пришла к каким то громоздким выражениям.
Подскажите, может есть способ, которого я не вижу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 19:37 


26/08/11
2147
Тригонометрию не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
$$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 23:33 


28/03/21
230
Shadow в сообщении #1590820 писал(а):
Тригонометрию не пробовали?
Shadow
Не поняла, причём здесь тригонометрия?
ShMaxG в сообщении #1590833 писал(а):
$$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$
ShMaxG
Неравенство верное, но что это мне даёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 23:40 
Аватара пользователя


01/11/14
2015
Principality of Galilee
Gepidium в сообщении #1590848 писал(а):
Не поняла, причём здесь тригонометрия?
Сама структура неравенства должна наводить на мысль, что поскольку $-1\leqslant a\leqslant 1$ и $-1\leqslant b\leqslant 1$, то возможна подстановка $a=\sin{p}$, $b=\sin{q}$.
Ну а формула синуса суммы Вам, надеюсь известна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение23.04.2023, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Gepidium в сообщении #1590848 писал(а):
Неравенство верное, но что это мне даёт?
Оцените в соответствии с этим неравенством каждое слагаемое из двух множителей слева в вашей формуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 00:06 
Заслуженный участник


23/05/19
1330
Gagarin1968 в сообщении #1590849 писал(а):
поскольку $-1\leqslant a\leqslant 1$ и $-1\leqslant b\leqslant 1$

В условии, кстати, сказано
Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):
при любых вещественных $a$ и $b$

Так что либо там где-то модуль пропущен, либо условие некорректно сформулировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 06:31 
Аватара пользователя


01/11/14
2015
Principality of Galilee
Dedekind в сообщении #1590851 писал(а):
либо условие некорректно сформулировано
Dedekind
Я полагаю, что формулировка
Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):
при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство
естественно, подразумевает "при любых допустимых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство". Как правило, в школьных задачах (а это школьная задача уровня 9 класса) это подразумевается и не оговаривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 09:07 


06/11/21
26
Gagarin1968 в сообщении #1590857 писал(а):
это школьная задача уровня 9 класса

Если решать методами 9 класса, то в нем ребята еще не прошли тригонометрию в отрыве от геометрии треугольника, и уж тем более метод тригонометрической подстановки - так что нужно использовать более тривиальные вещи. Например, какие-то базовые неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 10:20 
Аватара пользователя


01/11/14
2015
Principality of Galilee
someniatko в сообщении #1590866 писал(а):
ребята еще не прошли тригонометрию в отрыве от геометрии треугольника, и уж тем более метод тригонометрической подстановки - так что нужно использовать более тривиальные вещи
Хм, такая тригонометрическая подстановка, которая используется в этой задаче - самая тривиальная вещь. И, кстати, основное тригонометрическое тождество знают мои ученики-семиклассники (ну, правда, олимпиадники).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 14:18 


28/03/21
230
Спасибо, всё оказалось очень просто.
Тригонометрическую подстановку я конечно знала, но мне и в голову не могло прийти, что в этой задаче она решает моментально.
Ещё раз спасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Gepidium в сообщении #1590817 писал(а):
Возникла трудность в такой задаче:
при любых вещественных $a$ и $b$ доказать неравенство
$(a-\sqrt{1-b^2})^2+(b-\sqrt{1-a^2})^2\ge 0$
Какая трудность, в левой части квадраты, они неотрицательны. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 18:34 
Аватара пользователя


27/02/12
4192

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 20:26 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
TOTAL, а я что-то не понял юмора. Вы же подменили текст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождественное иррациональное неравенство
Сообщение24.04.2023, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group