Неравенство с параметром

[WinterPrimat]

Наткнулся в сборнике на неравенство от ЛГУ:
${\log_{\sqrt{a}}\left(a^{x}-2\right)}\geq{x-2}$
Решаем:
$\left\{\begin{matrix} a>0\\a\neq{1}\\a^{x}>2\\{\log_{\sqrt{a}}\left(a^{x}-2\right)}\geq{\log_{\sqrt{a}}\left(a^{\frac{x}{2}-1}\right)} \end{matrix}\right.$

$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\0<a<1\\a^{x}-2\leq{a^{\frac{x}{2}-1}} \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\a>1\\a^{x}-2\geq{a^{\frac{x}{2}-1}} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\0<a<1\\a\cdot{a^{x}}-2a\leq{a^{\frac{x}{2}}} \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\a>1\\a\cdot{a^{x}}-2a\geq{a^{\frac{x}{2}}} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Рассмотрим уравнение
$a\cdot{a^{x}}-2a={a^{\frac{x}{2}}}$
$a^{\frac{x}{2}}=t;\;t>0$
$at^2-t-2a=0$
$t=\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}$
Тогда
$a\cdot{a^{x}}-2a\leq{a^{\frac{x}{2}}}\Leftrightarrow{0<{a^{\frac{x}{2}}}}\leq{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}$
$a\cdot{a^{x}}-2a\geq{a^{\frac{x}{2}}}\Leftrightarrow{a^{\frac{x}{2}}}\geq{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}$

$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\0<a<1\\{0<{a^{\frac{x}{2}}}}\leq{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}} \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\a>1\\{a^{\frac{x}{2}}}\geq{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Решим отдельно обе части совокупности.
Первая:
$\left\{\begin{matrix} a^{x}>2\\0<a<1\\{0<{a^{\frac{x}{2}}}}\leq{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x<\log_{a}{2}\\0<a<1\\x\geq{2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}} \end{matrix}\right.$

Сравним теперь
$\\2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}<\log_{a}{2} \\\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}<\log_{a}{\sqrt{2}} \\\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}>\sqrt{2} \\\sqrt{1+8a^2}>2\sqrt{2}a-1 \\1+8a^2>8a^2-4\sqrt{2}a+1 \\0>-4\sqrt{2}a \\0<a$

Тогда при $a\in\left(0,1\right)$ имеем $x\in\left[2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}},\log_{a}{2}\right)$

Вторая:
$\\\left\{\begin{matrix} x>\log_{a}{2}\\a>1\\x\geq{2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}}} \end{matrix}\right.$

Сравнение пропущу. Оно почти то же, но с учетом возрастающей функции.
Тогда при $a\in\left(1,+\infty\right)$ имеем $x\in\left[2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}},+\infty\right)$

Компонуем:
при $a\in\left(0,1\right)$ имеем $x\in\left[2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}},\log_{a}{2}\right)$
при $a\in\left(1,+\infty\right)$ имеем $x\in\left[2\log_{a}{\dfrac{1+\sqrt{1+8a^2}}{2a}},+\infty\right)$
при других $a$ корней нет

Дело в том, что в пособии совершенно другой ответ и, по-моему, он не подходит.
Может, у меня где-то ошибка? Спасибо.

-- 23.04.2023, 11:47 --

Опечатку во воторой строке исправил

[ShMaxG]

WinterPrimat в сообщении #1590758 писал(а):

Дело в том, что в пособии совершенно другой ответ и, по-моему, он не подходит.

А какой в пособии ответ?

[WinterPrimat]

ShMaxG
Вот скрин. №25
https://prnt.sc/0J7Mu6SvMxZj

[ShMaxG]

У меня не открывается ссылка. Давайте сюда формулу.
У вас же я не вижу ошибок.

[WinterPrimat]

ShMaxG
Если $0<a<1$, то $x\leq{\log_{a}{1+\sqrt{1+a^2}}}$;
если $a>1$, то $\log_{a}{2}<x\leq{\log_{a}{1+\sqrt{1+a^2}}}$

[ShMaxG]

WinterPrimat
Да, это ерунда какая-то. Легко видеть, что при $a\in(0,1)$ и $x\to-\infty$ исходное неравенство нарушится, это войдет в противоречие с тем, что в ответе. Если $a>1$, то при $x\to+\infty$ неравенство должно выполняться, это так же противоречит их ответу.

Но кстати, вы не сформулировали задачу. Требуется найти решение неравенства при любых допустимых $a$? Или там какое-то более хитрое условие?

[WinterPrimat]

ShMaxG
Да, просто решить для всех $a$. Спасибо